Interazione radiazione-materia: dipolo, selezione, Stark e Zeeman

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Tre quarti della fisica atomica sono “luce che colpisce atomi”. Qui costruiamo lo strumento universale per decidere quali transizioni sono permesse (regole di selezione) e poi lo applichiamo a due situazioni d’esame classiche: l’effetto Stark (campo elettrico) e l’effetto Zeeman (campo magnetico).

Idrogeno· 1/6 · Stato fondamentale 1s

Le tre modalità di interazione

Assorbimento: il fotone cede energia, l’atomo sale di livello.
Emissione (spontanea o stimolata): l’atomo scende e emette un fotone.
Diffusione: elastica (Rayleigh, stessa frequenza) o anelastica (Raman, frequenza cambiata da scambio con rot/vib).

Approssimazione di dipolo e regola d’oro di Fermi

Approssimazione di dipolo

La lunghezza d’onda della luce visibile ( $\sim500$ nm) è enorme rispetto all’atomo ( $\sim0{,}1$ nm), quindi sull’atomo il campo è praticamente uniforme: $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\approx1$ . L’interazione si riduce allora all’accoppiamento del campo col momento di dipolo $\mathbf D=-e\mathbf r$ .

La transizione $|i\rangle\to|f\rangle$ è governata dall’elemento di matrice

Elemento di matrice di dipolo

\langle f|\hat H_{\text{int}}|i\rangle\propto\vec{\epsilon}\cdot\langle f|\mathbf r|i\rangle

con $\vec\epsilon$ versore di polarizzazione della luce. La transizione è permessa solo se $\vec\epsilon\cdot\mathbf r_{fi}\neq0$ .

Regola d'oro di Fermi (tasso di transizione)

W_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}\,|\langle f|\hat H_{\text{int}}|i\rangle|^2\,\rho(E_f)

$\rho(E_f)$ è la densità degli stati finali a energia conservata. Le regole di selezione discendono dall’annullarsi o meno dell’elemento di matrice.

Regole di selezione del dipolo elettrico

Si passa alle componenti sferiche $r_q=r\sqrt{4\pi/3}\,Y_{1,q}$ ( $q=0,\pm1$ ). L’elemento di matrice si fattorizza in una parte radiale e un integrale angolare:

\langle n'l'm'|\vec\epsilon\cdot\mathbf r|nlm\rangle\propto\sum_q\epsilon_q^*\underbrace{\int R_{n'l'}R_{nl}\,r^3dr}_{\text{radiale}}\underbrace{\int (Y_{l'm'})^*Y_{1,q}Y_{lm}\,d\Omega}_{\text{angolare}}.

Le regole di selezione nascono dall’integrale angolare.

Regola su Δm (integrazione in φ)

L’integrazione in $\varphi$ contiene $e^{-im'\varphi}e^{im\varphi}e^{iq\varphi}=e^{i(m+q-m')\varphi}$ , non nulla solo se $m'=m+q$ . Poiché $q=0,\pm1$ , si ha $\boxed{\Delta m=0,\pm1}$ .

Regola su Δl (parità)

Sotto parità $Y_{lm}\to(-1)^lY_{lm}$ . Il prodotto $Y_{l'm'}^*Y_{1q}Y_{lm}$ ha parità $(-1)^{l'+l+1}$ : perché l’integrale angolare (su tutto l’angolo solido) sia non nullo, il prodotto deve essere pari, quindi $l'+l+1$ pari $\Leftrightarrow$ $l'+l$ dispari. L’unica possibilità è $\boxed{\Delta l=\pm1}$ .

Regole di selezione del dipolo elettrico

\Delta l=\pm1,\qquad \Delta m=0,\pm1,\qquad \Delta s=0

Regole di selezione e polarizzazione (S→P)

Da uno stato S (m=0) si assorbe verso i tre sottolivelli P: la polarizzazione della luce seleziona Δm (π: 0, σ±: ±1). Cambia la polarizzazione per vedere quali righe si accendono. La regola Δl=±1 (non Δl=0) è il motivo per cui 2s→1s è proibito.

Errore comune

$\Delta l=\pm1$ non significa ” $l$ qualunque”: esclude $l\to l$ (parità). La transizione $2s\to1s$ è quindi proibita nel dipolo (e spiega la metastabilità del $2s$ ).

Polarizzazione: righe π e σ

Polarizzazione	geometria	$\Delta m$	nome
lineare $\parallel\hat z$	$\vec k\perp\hat z$	$0$	riga $\pi$
circolare $\sigma_\pm$ nel piano $xy$	$\vec k\parallel\hat z$	$\pm1$	righe $\sigma_\pm$

Spin del fotone

Un fotone $\sigma_+$ porta momento angolare $+\hbar$ lungo $\vec k$ , $\sigma_-$ porta $-\hbar$ . Una luce linearmente polarizzata è sovrapposizione equiprobabile di $\sigma_+$ e $\sigma_-$ : spin medio nullo, da cui $\Delta m=0$ .

Perché $\Delta m=0,\pm1$? Lo spin del fotone

La regola di selezione $\Delta m=0,\pm1$ non è un dato formale: ha un’interpretazione fisica immediata. Il fotone ha spin $s_\gamma=1$ (bosone di gauge), e in un campo polarizzato circolarmente trasporta un momento angolare ben definito lungo la direzione di propagazione: $m_\gamma=+1$ (L, sinistra) o $m_\gamma=-1$ (R, destra).

In assorbimento, il fotone cede il suo momento angolare all’elettrone: $\Delta m=m_\gamma$ . In emissione, il fotone si porta via momento angolare: $\Delta m=-m_\gamma$ (segno opposto).

Da qui la tabella:

Polarizzazione	$m_\gamma$	$\Delta m$ (assorbimento)	$\Delta m$ (emissione)
$\sigma^+$ (L)	$+1$	$+1$	$-1$
$\sigma^-$ (R)	$-1$	$-1$	$+1$
$\pi$ (lineare $\parallel\hat z$ )	$0$ (media)	$0$	$0$

La polarizzazione lineare è sovrapposizione di $\sigma^+$ e $\sigma^-$ → trasferisce in media $0$ momento angolare. È il modo più pulito per capire perché la geometria dell’esperimento (polarizzatore $\parallel$ o $\perp\mathbf{B}$ ) seleziona quali righe si osservano: la simmetria del campo codifica la regola di selezione.

Effetto Stark lineare (idrogeno in campo E)

Campo elettrico statico $\mathbf E=E\hat z$ . La perturbazione è $\hat V=eEz=eEr\cos\theta$ .

Perché è lineare solo nell'idrogeno

In genere la prima correzione non degenere è $\langle n|V|n\rangle=0$ (parità) e lo Stark è quadratico. Nell’idrogeno il livello $n$ è degenero in $l$ , quindi serve la perturbazione degenere: diagonalizzando $\hat V$ nel sottospazio degenere si ottiene uno splitting lineare in $E$ .

Caso n=2: mescolamento 2s–2p

Nel sottospazio $\{|200\rangle,|210\rangle\}$ (gli stati $2s$ e $2p,m{=}0$ ) la matrice di $\hat V$ è $\begin{pmatrix}0&X\\X&0\end{pmatrix}$ con $X=\langle2s|eEz|2p,m{=}0\rangle=-3eEa_0$ . Gli autovalori sono $\lambda_\pm=\pm3eEa_0$ e gli autostati corretti

\psi_\pm=\frac{1}{\sqrt2}(\psi_{2s}\pm\psi_{2p,m=0}).

Il campo non “separa” 2s e 2p: li mischia in combinazioni pari/dispari, separate linearmente in energia.

Conseguenza: la metastabilità del 2s

Il $2s$ è metastabile perché $2s\to1s$ viola $\Delta l=\pm1$ . Ma nello Stark il $2s$ diventa $\tfrac{1}{\sqrt2}(\psi_{2s}\pm\psi_{2p})$ : acquista carattere $p$ e può decadere. Lo stato oscilla tra $2s$ e $2p$ con $|\langle2s|\phi(t)\rangle|^2=\tfrac12[1+\cos(\Delta E\,t/\hbar)]$ : per campi forti l’oscillazione è rapida e il $2s$ perde la metastabilità.

Effetto Stark lineare (n=2 dell'idrogeno)

campo E

Il campo elettrico non "separa" 2s e 2p: li **mischia** in ψ± separati linearmente in E (±3eEa₀). I 2p,m=±1 non mischiano (restano al centro). È una perturbazione degenere: il 2s acquista carattere p → può decadere (perde la metastabilità).

Effetto Zeeman: atomo in campo magnetico

Campo $\mathbf B=B\hat z$ . L’hamiltoniana (minima coupling, non relativistica) è

Hamiltoniana in campo magnetico

\hat H=\hat H_0+\underbrace{\frac{e^2}{8m}(\mathbf B\times\mathbf r)^2}_{\text{diamagnetico}}+\underbrace{\frac{\mu_B}{\hbar}(\mathbf L+2\mathbf S)\cdot\mathbf B}_{\text{paramagnetico}},\qquad \mu_B=\frac{e\hbar}{2m}

Quando si trascura il termine diamagnetico

Il termine diamagnetico è $\propto B^2$ ed è piccolo per i campi di laboratorio: lo si tralascia quasi sempre. Resta il termine paramagnetico (lineare in $B$ ), che è quello che produce i tre effetti Zeeman. Quale dei tre si osserva dipende dal rapporto tra $B$ e l’accoppiamento spin-orbita.

I tre regimi

Regime	gerarchia	buoni numeri	splitting
Zeeman ordinario	$B$ fortissimo, SO trascurabile	$n,l,m_l,m_s$	$\mu_BB(m_l+2m_s)$
Paschen–Back	$B$ forte, SO come perturbazione	$n,l,m_l,m_s$	Zeeman ord. $+$ corr. SO
Zeeman anomalo	$B$ debole, SO in $\hat H_0$	$n,l,s,j,m_j$	$\mu_BB\,g\,m_j$

Zeeman ordinario

La perturbazione $\hat V=\frac{\mu_BB}{\hbar}(L_z+2S_z)$ è già diagonale:

Energie Zeeman ordinario

E_{n,l,m_l,m_s}=E_n+\mu_BB(m_l+2m_s)

Tripletto di Lorentz

Con le regole di selezione $\Delta m_l=0,\pm1$ , $\Delta m_s=0$ , tutte le transizioni hanno $\Delta E=\mu_BB\,\Delta m_l$ , cioè solo tre valori: una riga $\pi$ ( $\Delta m=0$ , non spostata) e due righe $\sigma_\pm$ ( $\Delta m=\pm1$ , spostate di $\pm\mu_BB$ ). È il tripletto normale (lo spin non conta, il $2m_s$ si elude per $\Delta m_s=0$ ).

Paschen–Back

$B$ abbastanza forte da tenere la base $|n,l,m_l,m_s\rangle$ , ma lo spin-orbita non è più trascurabile e va trattato come perturbazione su quella base. Poiché $\mathbf L\cdot\mathbf S=L_zS_z+\tfrac12(L_+S_-+L_-S_+)$ e gli operatori di salita cambiano $m_l,m_s$ di $\pm1$ , il solo contributo diagonale è $L_zS_z$ :

\Delta E_{SO}=\langle\xi(r)\rangle_{n,l}\hbar^2 m_lm_s.

Il risultato è il splitting Zeeman ordinario con una piccola correzione che separa ulteriormente i livelli senza rimuovere altre degenerazioni.

Zeeman anomalo

Qui $B$ è debole: lo spin-orbita è già in $\hat H_0$ , si lavora nella base $|n,l,s,j,m_j\rangle$ , e la perturbazione è

\hat H_P=\frac{\mu_BB}{\hbar}(J_z+S_z),\qquad\text{con }L_z+2S_z=(L_z+S_z)+S_z=J_z+S_z.

$J_z$ è diagonale in $m_j$ ; $S_z$ no (in questa base). Si usa il teorema di proiezione (Wigner–Eckart): entro un sottospazo a $j$ fissato, il valore medio di un operatore vettoriale è la sua proiezione su $\mathbf J$ :

Valore medio di S_z (fattore di Landé)

$\langle\mathbf S\rangle=\frac{\langle\mathbf S\cdot\mathbf J\rangle}{\langle J^2\rangle}\langle\mathbf J\rangle$ , con $\mathbf S\cdot\mathbf J=\tfrac12(J^2+S^2-L^2)$ . Per la componente $z$ :

\langle S_z\rangle=\frac{\hbar m_j}{2}\,\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{j(j+1)}.

Sostituendo in $\Delta E=\mu_BBm_j+\frac{\mu_BB}{\hbar}\langle S_z\rangle$ :

\Delta E=\mu_BB\,m_j\underbrace{\left[1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}\right]}_{g\ \text{(Landé)}}.

Effetto Zeeman anomalo e fattore di Landé

\Delta E=\mu_BB\,g\,m_j,\qquad g=1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}

Effetto Zeeman (anomalo, campo debole)

termineB (T)

In regime debole (Zeeman anomalo) ogni livello |J⟩ si sdoppia in 2J+1 sottolivelli a E = μ_B·B·g·m_J, con g = 1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] (Landé). Lo splitting totale è 2μ_B·B·g·J. Le transazioni danno righe π (Δm_J=0) e σ± (Δm_J=±1).

Landé per un elettrone (s=½)

Con $s(s+1)=3/4$ si ottengono le forme chiuse

g\!\left(j=l+\tfrac12\right)=1+\frac{1}{2l+1}=\frac{2l+2}{2l+1},\qquad g\!\left(j=l-\tfrac12\right)=1-\frac{1}{2l+1}=\frac{2l}{2l+1}.

Per $l=0$ ( $j=s=\tfrac12$ ): $g=2$ (puro spin). Esempio $l=1$ : $g(2p_{3/2})=4/3$ , $g(2p_{1/2})=2/3$ . Lo “Zeeman anomalo” dà più di tre righe perché ogni termine si sdoppia secondo i suoi $m_j$ con un $g$ diverso.

Il nome anomalo è storico

Si chiama “anomalo” perché, prima del riconoscimento dello spin, non si capiva perché il numero di righe non fosse sempre 3. Con lo spin e il fattore di Landé non c’è nulla di anomalo: è il caso più generale (e fisicamente più realistico).

Cascate di transizioni E1 e livelli metastabili

Negli esami più avanzati (02, 09, 31, 43) si chiede di tracciare l’intera cascata di transizioni radiative a partire da uno stato eccitato popolato selettivamente. La regola di selezione chiave, in questi casi, non è solo $\Delta J=0,\pm 1$ ma soprattutto $\Delta S=0$ : se un termine “non ha partner” della stessa molteplicità a parità opposta (e minore energia), è metastabile.

Il filtro “parità + $\Delta S=0$ ” come bussola

Logica della cascata

Lo stato eccitato ha una certa parità (dipende da $\sum l_i$ ).
La transizione E1 richiede cambio di parità: solo configurazioni di parità opposta sono candidate finali.
Fra queste, $\Delta S=0$ seleziona solo i termini con la stessa molteplicità di spin.
Sui candidati residui, si applica $\Delta L=0,\pm 1$ e $\Delta J=0,\pm 1$ .
Se nessun candidato passa tutti i filtri a energia inferiore, il livello è metastabile: l’atomo ci resta intrappolato (in approssimazione LS rigorosa).

Esempio: il ${}^{5}S_2$ del Polonio è metastabile (esame 02)

Il livello ${}^{5}S_2$ del Polonio appartiene alla configurazione $6p^3 7s$ (parità dispari, $S=2$ quintetto). Cerca partner a parità pari con $S=2$ fra i termini di $6p^4$ ( ${ }^{3}P,{}^{1}D,{}^{1}S$ — tutti $S\in\{1,0,0\}$ ): nessuno ha $S=2$ . Il livello è metastabile in approssimazione LS. Negli atomi pesanti (Po, $Z=84$ ) lo spin-orbita è forte e mescola termini di $S$ diverso, indebolendo la regola — la riga “intercombination” può apparire, debolissima.

Esempio: la cascata del livello p nell’Arsenico (esame 43)

Popolando il livello p ${}^{2}S^{o}_{1/2}$ (configurazione $4p^2(\,{}^{3}P)\,5p$ , parità dispari), la cascata E1 è:

Step 1: p decade verso parità pari con $\Delta S=0$ → solo i doppietti ${}^{2}P_{1/2,3/2}$ di $4p^2(\,{}^{3}P)\,5s$ (livelli i, j).
Step 2: da i, j (parità pari) decade verso parità dispari con $\Delta S=0$ → i doppietti ${}^{2}D,{}^{2}P$ di $4p^3$ (livelli b, c, d, e).
Stop: b, c, d, e sono metastabili perché il GS ${}^{4}S^{o}_{3/2}$ ( $S=3/2$ ) ha molteplicità diversa ( $\Delta S\neq 0$ ) e comunque stessa parità.

Stato finale: l’atomo resta intrappolato in b, c, d, e — non raggiunge il fondamentale.

Perché questo riguarda le righe proibite in astrofisica

I livelli metastabili prodotti dal filtro $\Delta S=0$ sono la chiave per spiegare le righe proibite osservate nelle nebulose e nelle aurore (ioni $\mathrm{O}^+$ , $\mathrm{O}^{2+}$ , $\mathrm{N}^+$ ). A bassissima densità i decadimenti E1 proibiti (avvengono via M1 o E2, lentissimi) hanno il tempo di avvenire prima delle collisioni che svuoterebbero il metastabile: il risultato è uno spettro con righe “proibite” caratteristiche, impossibili da ottenere in laboratorio ad alta pressione.

Formule chiave

Dipolo: $W_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}|\langle f|\hat H_{\text{int}}|i\rangle|^2\rho(E_f)$
Selezione: $\Delta l=\pm1$ , $\Delta m=0,\pm1$ , $\Delta s=0$
Righe: $\pi$ ( $\Delta m=0$ ), $\sigma_\pm$ ( $\Delta m=\pm1$ )
Stark $n=2$ : $\psi_\pm=\tfrac{1}{\sqrt2}(\psi_{2s}\pm\psi_{2p})$ , $\Delta E=\pm3eEa_0$
Zeeman ord.: $E=E_n+\mu_BB(m_l+2m_s)$
Landé: $g=1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}$ , $\Delta E=\mu_BB\,g\,m_j$

Esami correlati

Questi concetti sono testati in 10 esami della raccolta:

Interazione radiazione-materia: dipolo, selezione, Stark e Zeeman

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Regole di selezione del dipolo elettrico

Polarizzazione: righe π e σ

Effetto Stark lineare (idrogeno in campo E)

Effetto Zeeman: atomo in campo magnetico

I tre regimi

Zeeman ordinario

Paschen–Back

Zeeman anomalo

Cascate di transizioni E1 e livelli metastabili

Il filtro “parità + ΔS=0\Delta S=0ΔS=0” come bussola

Esempio: il 5S2{}^{5}S_25S2​ del Polonio è metastabile (esame 02)

Esempio: la cascata del livello p nell’Arsenico (esame 43)

Formule chiave

Il filtro “parità + $\Delta S=0$ ” come bussola

Esempio: il ${}^{5}S_2$ del Polonio è metastabile (esame 02)