Momento angolare: orbitale, spin e totale

Obiettivo della pagina

Il momento angolare è il filo conduttore di tutto il corso: determina la forma degli orbitali, la degenerazione dei livelli, le regole di selezione e i termini spettroscopici. Distinguiamo tre grandezze — orbitale $\mathbf L$ , spin $\mathbf S$ , totale $\mathbf J$ — e fissiamo la notazione una volta per tutte.

Tre momenti angolari

Le tre grandezze

Orbitale $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$ : associato al moto spaziale dell’elettrone attorno al nucleo.
Spin $\mathbf S$ : momento angolare intrinseco, senza classico analogo geometrico. Per l’elettrone $s=\tfrac12$ .
Totale $\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$ : somma vettoriale, è ciò che si conserva quando spin-orbita è rilevante.

Tutti e tre soddisfano le stesse algebre di commutazione, ad esempio $[\hat L_i,\hat L_j]=i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat L_k$ . Da queste segue che di ciascun vettore si possono misurare in simultanea solo il modulo al quadrato e una componente (convenzionalmente $z$ ).

Quantizzazione

Spettro comune di $\hat{\mathbf J}^2$ e $\hat J_z$ (vale per L, S, J)

\hat{\mathbf J}^2|j,m_j\rangle=\hbar^2 j(j+1)|j,m_j\rangle,\qquad \hat J_z|j,m_j\rangle=\hbar m_j|j,m_j\rangle

con $m_j=-j,-j{+}1,\dots,j-1,j$ .

Applicato ai tre casi:

Grandezza	Operatore modulo²	$\hat J_z$	numeri quantici
Orbitale	$\hat{\mathbf L}^2$	$\hat L_z$	$l=0,1,\dots,n{-}1$ ; $m_l=-l,\dots,l$
Spin (elettrone)	$\hat{\mathbf S}^2$	$\hat S_z$	$s=\tfrac12$ ; $m_s=\pm\tfrac12$
Totale	$\hat{\mathbf J}^2$	$\hat J_z$	$j=

Attenzione: il vettore L non ha un autovalore (audit A06)

Scrivere " $\mathbf L\,|l,m\rangle=\hbar\sqrt{l(l+1)}\,|l,m\rangle$ " è improprio: l’operatore vettore $\hat{\mathbf L}$ non è diagonalizzabile a un singolo numero. Ciò che ha autovalore è $\hat{\mathbf L}^2$ (con $\hbar^2 l(l{+}1)$ ) e $\hat L_z$ (con $\hbar m$ ). Il valore $\hbar\sqrt{l(l{+}1)}$ è il modulo del vettore $\|\langle\mathbf L\rangle\|$ , non un’equazione agli autovalori.

Perché $\sqrt{l(l+1)}$ e non $l$?

La differenza tra il modulo $\hbar\sqrt{l(l+1)}$ e la massima proiezione $\hbar l$ riflette il principio di indeterminazione: se potessimo avere $\|\mathbf L\|=\hbar l$ con $L_z=\hbar l$ , allora anche $L_x,L_y$ sarebbero determinati (nulli), violando $[L_x,L_y]\neq0$ . Il “cono di precessione” quantistico lascia sempre un residuo.

Accoppiamento: da L,S a J

La regola di composizione di due momenti angolari $j_1$ ed $j_2$ dà

j = |j_1-j_2|,\ |j_1-j_2|+1,\ \dots,\ j_1+j_2.

Per un elettrone ( $l$ ed $s=\tfrac12$ ) ci sono quindi solo due possibilità: $j=l+\tfrac12$ oppure $j=l-\tfrac12$ (per $l=0$ resta solo $j=\tfrac12$ ). Questa raddoppiatura è all’origine della struttura fine (cap. 02) e della differenza tra effetti Zeeman ordinario e anomalo (cap. 03).

Regole di selezione (anteprima)

Poiché le transizioni di dipolo (cap. 03) collegano stati di momento angolare, già ora conviene fissare:

Regole di selezione del dipolo elettrico

\Delta l=\pm1,\qquad \Delta m_l=0,\pm1,\qquad \Delta s=0

Lo spin non “sente” il dipolo elettrico: $\Delta s=0$ è una costante del corso e spiega perché certi termini spettroscopici siano proibiti.

Formule chiave

$\hat{\mathbf L}^2|l,m_l\rangle=\hbar^2l(l{+}1)|l,m_l\rangle$ , $\hat L_z|l,m_l\rangle=\hbar m_l|l,m_l\rangle$
Spin elettrone: $s=\tfrac12$ , $m_s=\pm\tfrac12$
$\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$ , $j=|l-s|,\dots,l+s$
Regole dipolo: $\Delta l=\pm1$ , $\Delta m_l=0,\pm1$ , $\Delta s=0$