Folding, legge di Bragg, onde stazionarie e reticolo reciproco

Obiettivo della pagina

Il modello di Sommerfeld tratta elettroni liberi in una scatola: parabola $\varepsilon=\hbar^2k^2/2m$ , niente gap. Ma un solido ha un reticolo, e i nuclei generano un potenziale periodico. Qui vediamo come questo potenziale «rompe» la parabola aprendo le gap ai bordi della zona di Brillouin, riconducendo il modello dell’elettrone libero a quello tight-binding del cap. 09. È il ponte tra i due linguaggi del corso.

Folding: riportare la parabola nella zona di Brillouin

La zona di Brillouin $[-\pi/a,\pi/a]$ contiene tutti i $k$ fisicamente distinti: fuori, le soluzioni si ripetono per simmetria traslazionale. L’operazione di folding riporta dentro la parabola libera:

Folding

k\to k\pm n\frac{2\pi}{a}\quad(n\in\mathbb Z)

Dopo il folding, a ogni $k$ nella zona corrispondono più energie (i rami della parabola riflessa): sono le bande. Di per sé il folding non crea gap: le bande si tocerebbero. La gap nasce solo includendo il potenziale periodico (elettrone quasi-libero).

Elettrone quasi-libero e legge di Bragg

L’elettrone non è del tutto libero: sente il potenziale periodico dei nuclei. Un’onda piana $e^{ikx}$ che attraversa il cristallo viene riflessa dai piani reticolari (passo $d$ ). Interferenza costruttiva (legge di Bragg):

Legge di Bragg

n\lambda=2d\sin\theta

A incidenza normale ( $\theta=90°$ , $d=a$ ) e usando $k=2\pi/\lambda$ :

Piani di Bragg nel solido

k=\pm\frac{n\pi}{a}\quad\text{(piani di Bragg: } \pm\pi/a,\ \pm2\pi/a,\ldots\text{)}

Esattamente ai bordi della zona di Brillouin ( $k=\pm\pi/a$ ) l’onda incidente e quella riflessa sono in condizione di Bragg e interferiscono: lì la parabola si spezza.

Onde stazionarie $\Psi_\pm$ e densità di carica

Al bordo zona $k=\pi/a$ le due onde degeneri $e^{i\pi x/a}$ ed $e^{-i\pi x/a}$ si combinano in due onde stazionarie:

Soluzioni stazionarie al bordo zona

\Psi_+=e^{i\pi x/a}+e^{-i\pi x/a}=2\cos\!\left(\tfrac{\pi x}{a}\right),\quad |\Psi_+|^2=4\cos^2\!\left(\tfrac{\pi x}{a}\right)

\Psi_-=e^{i\pi x/a}-e^{-i\pi x/a}=2i\sin\!\left(\tfrac{\pi x}{a}\right),\quad |\Psi_-|^2=4\sin^2\!\left(\tfrac{\pi x}{a}\right)

Carica sui nuclei vs tra i nuclei: ecco la gap

$\Psi_+$ accumula carica sui nuclei (dove il potenziale ionico è minimo): è lo stato a energia più bassa (legante). $\Psi_-$ accumula carica tra i nuclei (potenziale massimo): energia più alta (antilegante). La differenza di queste energie medie è la gap. La periodicità non «spinge» la parabola: la sdoppia in due rami con densità di carica diverse.

Apertura della gap: Bragg, onde stazionarie, potenziale periodico

intensità potenziale U

Sopra: la parabola libera (tratteggiata) si «rompe» ai piani di Bragg k=±π/a aprendo una gap di ampiezza U. Sotto: al bordo zona l'elettrone è un'onda stazionaria; Ψ₊ accumula carica sui nuclei (dove il potenziale è minimo → energia più bassa), Ψ₋ tra i nuclei (potenziale massimo → energia più alta). La gap è proprio la differenza di queste due energie medie. Aumentando U la gap si allarga.

Reticolo reciproco

La struttura matematica dietro Bragg e gap è il reticolo reciproco. Dato un reticolo diretto con traslazioni $\mathbf t_m=m_1\mathbf a+m_2\mathbf b+m_3\mathbf c$ , i vettori reciproci $\mathbf K_m$ sono definiti da

Definizione di reticolo reciproco

e^{i\mathbf K_m\cdot\mathbf t_m}=1\quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf K_m\cdot\mathbf t_m=2\pi\cdot(\text{intero})

In 1D, $\mathbf t_m=ma$ e $\mathbf K_m=m'(2\pi/a)$ : i vettori reciproci sono multipli interi di $2\pi/a$ . La condizione di Bragg si riscrive in modo elegante:

Bragg = trasferimento di un vettore reciproco

La riflessione avviene quando il salto di momento dell’elettrone riflesso $\Delta\mathbf q$ è un vettore del reticolo reciproco:

\Delta\mathbf q=\mathbf K_m

Poiché i piani di Bragg sono a $k=\pm n\pi/a$ , e $2\pi/a$ è il passo del reticolo reciproco, la gap si apre esattamente dove $\Delta\mathbf q$ «entra» nel reticolo reciproco. In 3D questo genera le zone di Brillouin come poliedri (Wigner–Seitz del reticolo reciproco).

Calcolo della gap: elettrone quasi-libero

Sviluppo in serie di Fourier del potenziale periodico:

Potenziale periodico in serie di Fourier

V(x)=\sum_G V_G\,e^{iGx}\qquad(G=\pm2\pi/a,\ \pm4\pi/a,\ldots)

Al bordo zona i due stati degeneri $|k=\pi/a\rangle$ e $|k-G\rangle$ sono accoppiati da $V_G$ . L’equazione secolare $2\times2$ dà:

Autovalori al bordo zona (nearly-free-electron)

E=E_0\pm|V_G|,\qquad \text{gap}=2|V_G|

Caso armonico $V(x)=-U\cos(2\pi x/a)\Rightarrow$ gap $=U$

Con $V(x)=-U\cos(Gx)=-\tfrac{U}{2}(e^{iGx}+e^{-iGx})$ si ha $V_G=V_{-G}=-U/2$ , dunque

\text{gap}=2|V_G|=2\cdot\frac{U}{2}=U

Verifica con le onde stazionarie (normalizzate su $[0,a]$ : $\int|\Psi_\pm|^2 dx=2a$ ): $\langle V\rangle_+=-\tfrac{U}{2}$ (carica sui nuclei) e $\langle V\rangle_-=+\tfrac{U}{2}$ (carica tra i nuclei), quindi $\text{gap}=\langle V\rangle_--\langle V\rangle_+=U$ . ✓

Audit A38: il sorgente scrive gap $=2U$

Il materiale sorgente (slide) calcola $\Delta E=2U$ dividendo per $a$ invece di $2a$ nella media: le onde stazionarie $\Psi_\pm=2\cos,2i\sin$ non sono normalizzate su $[0,a]$ (la loro norma è $2a$ , non $a$ ). Con la normalizzazione corretta la gap vale $U$ , coerente con $2|V_G|$ e con il risultato generico $E=E_0\pm|V_G|$ che lo stesso sorgente riporta. Corretto nel sito.

Gap multiple

Ogni armonica di Fourier $V_{nG}$ apre una gap al rispettivo piano di Bragg $k=\pm n\pi/a$ , di ampiezza $2|V_{nG}|$ . Le gap più grandi sono quelle di primo ordine ( $n=1$ , bordo della I zona); le successive sono tipicamente più piccole (Fourier ad alto $G$ decresce).

Sintesi: tre strade, una sola fisica

Tight-binding (cap. 09): si parte dagli orbitali atomici, il reticolo è implicito, le bande nascono dall’accoppiamento $t$ .
Elettrone quasi-libero (questo cap.): si parte dalla parabola libera, il reticolo è «perturbazione» $V_G$ , le gap nascono da Bragg. Entrambe danno bande nella zona di Brillouin $[-\pi/a,\pi/a]$ : sono lo stesso problema nei due limiti (legame forte vs elettrone quasi-libero).

Formule chiave

Folding: $k\to k\pm n(2\pi/a)$ → banda continua nella zona di Brillouin
Bragg: $n\lambda=2d\sin\theta$ ; normale $\Rightarrow k=\pm n\pi/a$ (piani di Bragg)
Onde stazionarie: $\Psi_\pm=2\cos/2i\sin(\pi x/a)$ , $|\Psi_\pm|^2=4\cos^2/4\sin^2$
Reticolo reciproco: $e^{i\mathbf K\cdot\mathbf t}=1$ , in 1D $\mathbf K_m=m(2\pi/a)$
Bragg = $\Delta\mathbf q=\mathbf K_m$
Gap nearly-free-electron: $E=E_0\pm|V_G|$ , gap $=2|V_G|$ ; armonico $\Rightarrow$ gap $=U$

Prossimo passo

Ora che abbiamo bande e gap: quanto conduce un materiale, e perché i metalli hanno un colore? → cap. 15.