Crisi della fisica classica e atomo di Bohr

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La fisica atomica nasce da un corto circuito: la fisica classica non riesce a spiegare tre fatti sperimentali (fotoelettrico, spettri a righe, urti anelastici). Il modello di Bohr è la prima risposta “quantistica” e fissa per la prima volta l’idea di livelli energetici discreti. Qui ricostruiamo gli esperimenti, la logica di Bohr e — soprattutto — le unità con cui faremo i conti per tutto il corso.

Effetto fotoelettrico

Su un metallo irradiato di frequenza $\nu$ , gli elettroni estrati hanno un’energia cinetica massima misurabile tramite il potenziale di arresto $V_0$ :

Bilancio energetico del fotoelettrico

\tfrac12 m_e v^2 = e V_0

Il dato scandaloso per la fisica classica è che $V_0$ non dipende dall’intensità della luce, ma solo dalla sua frequenza, ed esiste una frequenza di soglia $\nu_0$ . Einstein (1905) risolve quantizzando la radiazione:

Quanto di luce (fotone)

E_{\text{fotone}}=h\nu

Ne segue l’equazione fotoelettrica $\tfrac12 m_e v^2 = h\nu-\Phi$ , con $\Phi$ lavoro di estrazione. Aumentare l’intensità aumenta il numero di fotoni (e la corrente di saturazione), non la loro energia.

L'intuizione chiave

L’intensità è un’informazione “collettiva” (numero di fotoni); l’energia di ciascun fotone è un’informazione “individuale” (frequenza). La fisica classica mescolava le due; la quantizzazione le separa.

Esperimento di Frank–Hertz

Elettroni accelerati in un gas di mercurio perdono energia per urti. Si osserva che la corrente all’anodo crolla a multipli di 4,86 eV: gli urti diventano anelastici proprio quando l’elettrone ha abbastanza energia per eccitare l’atomo di Hg al primo stato eccitato.

Conclusione (quantizzazione)

L’eccitazione avviene solo cedendo quanti discreti di energia fissata. È la misura diretta, indipendente dalla spettroscopia, della quantizzazione dei livelli.

Spettri a righe e legge di Rydberg–Ritz

Atomi freddi assorbono e atomi caldi emettono luce alle stesse frequenze discrete (righe). Balmer (1885) intuì la regolarità dell’idrogeno, formalizzata nella legge di Rydberg–Ritz:

Legge di Rydberg–Ritz

\nu_{ab}=cR_\infty\!\left(\frac{1}{n_a^2}-\frac{1}{n_b^2}\right),\qquad R_\infty\simeq 1{,}097\times10^5\ \text{cm}^{-1}

Al variare di $n_a$ si ottengono le serie, ciascuna in una regione spettrale:

Serie	regione	formula	$n$
Lyman	ultravioletto	$R\!\left(\tfrac{1}{1^2}-\tfrac{1}{n^2}\right)$	$n\ge2$
Balmer	visibile	$R\!\left(\tfrac{1}{2^2}-\tfrac{1}{n^2}\right)$	$n\ge3$
Paschen	infrarosso	$R\!\left(\tfrac{1}{3^2}-\tfrac{1}{n^2}\right)$	$n\ge4$
Brackett	infrarosso	$R\!\left(\tfrac{1}{4^2}-\tfrac{1}{n^2}\right)$	$n\ge5$

Errore del sorgente (audit A01)

Nelle dispense la serie di Balmer compare con il primo termine $1/3^2$ : è un errore — sarebbe la serie di Paschen. La serie di Balmer è sul livello $n_a=2$ , quindi $1/2^2$ , e cade nel visibile (da cui il suo ruolo storico).

Modello di Bohr

Bohr fa tre ipotesi:

Orbite circolari stabili.
Quantizzazione del momento angolare: $L=mvr=n\hbar$ , $n=1,2,\dots$
Le frequenze emesse corrispondono a salti tra livelli: $\nu_{ab}=(E_a-E_b)/h$ .

Errore del sorgente (audit A02)

La dispense scrivono $\nu_{ab}=(E_a-E_b)/\hbar$ . È incoerente con l’uso di $E=h\nu$ : la frequenza ordinaria è $\nu_{ab}=\Delta E/h$ . Con $\hbar$ si ottiene invece la pulsazione $\omega=\Delta E/\hbar=2\pi\nu$ . Nel sito si usa $\nu=\Delta E/h$ .

Derivazione dei raggi e dei livelli

Equazione del moto (Coulomb = centripeta)

\frac{m_e v^2}{r}=\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

Combinandola con $m_evr=n\hbar$ si eliminano $v$ ed $m_e$ ottenendo i raggi quantizzati

Raggi di Bohr

r_n=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{Ze^2 m_e}\,n^2=\frac{a_0}{Z}\,n^2,\qquad a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{e^2 m_e}\simeq0{,}529\ \text{Å}

Per il viriale del potenziale coulombiano $2K+U=0$ si ha $E=K+U=U/2$ , da cui

Livelli energetici idrogenoidi

E_n=-\frac{1}{2n^2}\!\left(\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\right)^{\!2}\!m_e =-\frac{Z^2}{n^2}\,\mathrm{Ry}

Coerenza dimensionale

Il termine $(Ze^2/4\pi\varepsilon_0\hbar)$ ha le dimensioni di una velocità (è $\alpha Zc$ , con $\alpha\simeq1/137$ ). Quadrato × massa = energia. Tutto torna.

Confronto con Rydberg–Ritz

Uguagliando il salto $\Delta E$ a $h\nu_{ab}$ si esprime $R_\infty$ in funzione di costanti fondamentali:

Costante di Rydberg (dedotta, non empirica)

hcR_\infty=\frac12 m_e\!\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\right)^{\!2}=\mathrm{Ry}=13{,}6\ \text{eV} \quad\Rightarrow\quad cR_\infty\simeq 3{,}29\times10^{15}\ \text{Hz}

Errore del sorgente (audit A03)

Le dispense riportano $cR_\infty\simeq 3{,}28\times10^5$ Hz: errore di esponente, 10 ordini di grandezza troppo piccolo. Il valore corretto è $\sim3{,}3\times10^{15}$ Hz (la Lyman-α è a $1{,}216$ Å $\approx 2{,}47\times10^{15}$ Hz).

Verifica numerica

Con $m_e=9{,}11\times10^{-31}$ kg, $\alpha=e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c)=1/137{,}036$ , $c=2{,}998\times10^8$ m/s: $\mathrm{Ry}=\tfrac12 m_ec^2\alpha^2=\tfrac12(511\,000)(1/137{,}036)^2=13{,}6$ eV. ✓

Unità: eV, cm⁻¹, Hz, Ry, au

In fisica atomica serve muoversi agevolmente tra unità. Le relazioni fondamentali:

Conversioni energetiche essenziali

E=h\nu=hc/\lambda=hc\,\sigma,\qquad 1\ \text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\ \text{J}=8065{,}5\ \text{cm}^{-1}

1\ \text{Ry}=13{,}6\ \text{eV}=\tfrac12 E_h,\qquad \lambda[\text{nm}]=\frac{1240}{E[\text{eV}]}

Scorciatoia eV↔cm⁻¹

A mente si usa $1\ \text{eV}\approx8000\ \text{cm}^{-1}$ (audit A04). Attenzione: è un’approssimazione al $-0{,}8\%$ ; in spettroscopia fine usare $8065{,}5$ .

Unità atomiche (au)

Si pone $m_e=e=\hbar=1/(4\pi\varepsilon_0)=1$ . Conseguenze:

Unità atomiche

a_0=1\ \text{au},\quad E_h=1\ \text{au}=2\,\mathrm{Ry}=27{,}2\ \text{eV},\quad \alpha=1/137{,}036\ \text{(invariato)}

In au l’hamiltoniana idrogenoide diventa $\hat H=-\tfrac12\nabla^2-\tfrac{Z}{r}$ : tutti i prefattori spariscono, e i conti si riducono alla sola struttura.

Perché le au sono così comode

In au, velocità dell’elettrone nello stato fondamentale $\sim\alpha c$ diventa $v\sim 1$ ; energia di legame $\sim 1/2$ ; raggio $\sim 1$ . Una sola unità misura lunghezze, energie e (in unità di $\hbar$ ) tempi, rendendo immediato “sentire” l’ordine di grandezza atomico.

Limiti del modello di Bohr

Bohr funziona per idrogeno e idrogenoidi a un elettrone, ma:

non spiega la struttura fine (cap. 02) — serve l’elettrone relativistico e lo spin;
non funziona per atomi a più elettroni (cap. 04–05);
è ad hoc: la quantizzazione di $L$ è postulata, non derivata.

La vera derivazione dei livelli verrà dalla equazione di Schrödinger radiale per il potenziale coulombiano (cap. 02).

Formule chiave

Fotoelettrico: $\tfrac12 m_ev^2=h\nu-\Phi=eV_0$
Rydberg–Ritz: $\nu=cR_\infty(1/n_a^2-1/n_b^2)$ , $R_\infty\simeq1{,}097\times10^5$ cm⁻¹
Bohr: $L=n\hbar$ , $\nu=\Delta E/h$
Raggi: $r_n=a_0 n^2/Z$ , $a_0=0{,}529$ Å
Livelli: $E_n=-Z^2\mathrm{Ry}/n^2$ , $\mathrm{Ry}=13{,}6$ eV
Rydberg dedotto: $hcR_\infty=\tfrac12 m_e c^2\alpha^2$
au: $m_e=e=\hbar=4\pi\varepsilon_0=1$ , $E_h=27{,}2$ eV, $a_0=1$