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Conversioni derivate dalle a.u.

Negli esercizi si usa spesso convertirsi tra cm⁻¹ (numero d’onda, spettroscopia), eV (energia, fisica atomica), K (temperatura, termodinamica) e a.u. (unità atomiche, calcoli teorici). Tutte queste conversioni si derivano dalle quattro costanti atomiche poste uguali a 1:

me=e=ℏ=4πε0=1.m_e=e=\hbar=4\pi\varepsilon_0=1.
Perché questa pagina

Invece di memorizzare fattori di conversione a caso, è più robusto ricordare le 4 costanti base e le 3-4 formule derivate. Con quelle, tutte le conversioni si ricostruiscono a mente. È anche la porta di accesso naturale ai conti in unità atomiche, che semplificano drasticamente Morse, rotatore rigido, Zeeman e via dicendo.

1. Conversioni energetiche: cm⁻¹ ↔ eV ↔ a.u.

1 a.u. di energia ↔ cm⁻¹

L’unità atomica di energia è l’Hartree Eh=α2mec2=27,211E_h=\alpha^2 m_e c^2=27{,}211 eV. In numero d’onda:

ν~a.u.=Ehhc=27,211 eVhc=27,211⋅8065,54 cm−1=219474,6 cm−1.\tilde\nu_{\text{a.u.}}=\frac{E_h}{hc}=\frac{27{,}211\ \mathrm{eV}}{hc} =27{,}211\cdot 8065{,}54\ \mathrm{cm}^{-1}=219474{,}6\ \mathrm{cm}^{-1}.

Da cui:

1 cm−1=1219475 a.u.=4,5563⋅10−6 a.u.\boxed{1\ \mathrm{cm}^{-1}=\frac{1}{219475}\ \mathrm{a.u.}=4{,}5563\cdot 10^{-6}\ \mathrm{a.u.}}
1 cm⁻¹ ↔ eV (direttamente)

Dalla definizione E=hν=hc/λ=hcν~E=h\nu=hc/\lambda=hc\tilde\nu:

1 cm−1⋅hc=1,986⋅10−23 J=1,2398⋅10−4 eV.1\ \mathrm{cm}^{-1}\cdot hc=1{,}986\cdot 10^{-23}\ \mathrm{J}=1{,}2398\cdot 10^{-4}\ \mathrm{eV}.

Quindi:

1 cm−1=1,2398⋅10−4 eV;1 eV=8065,54 cm−1.\boxed{1\ \mathrm{cm}^{-1}=1{,}2398\cdot 10^{-4}\ \mathrm{eV};\qquad 1\ \mathrm{eV}=8065{,}54\ \mathrm{cm}^{-1}.}
Conversioni tipiche d'esame
  • Soglia di ionizzazione dell’idrogeno: 13,613{,}6 eV =109700=109700 cm⁻¹ =R∞=R_\infty ✓
  • Quanto vibrazionale di HCl: 29902990 cm⁻¹ =0,371=0{,}371 eV.
  • Hot band HBr a T=3680T=3680 K: ν~0/kB=2559/(0,695⋅T)⇒T=ν~0/(0,695)\tilde\nu_0/k_B = 2559/(0{,}695\cdot T) \Rightarrow T = \tilde\nu_0/(0{,}695).

2. Costante di Boltzmann: kBk_B in cm⁻¹/K

Derivazione del fattore 0.695 cm⁻¹/K

kB=1,381⋅10−23k_B=1{,}381\cdot 10^{-23} J/K. Dividendo per hc=1,986⋅10−23hc=1{,}986\cdot 10^{-23} J·cm:

kBhc=1,381⋅10−231,986⋅10−23=0,6950 cm−1K.\frac{k_B}{hc}=\frac{1{,}381\cdot 10^{-23}}{1{,}986\cdot 10^{-23}}=0{,}6950\ \frac{\mathrm{cm}^{-1}}{\mathrm{K}}.

Da cui:

kBT [cm−1]=0,695⋅T [K];T [K]=ν~ [cm−1]0,695.\boxed{k_BT\ [\mathrm{cm}^{-1}]=0{,}695\cdot T\ [\mathrm{K}];\qquad T\ [\mathrm{K}]=\frac{\tilde\nu\ [\mathrm{cm}^{-1}]}{0{,}695}.}

In eV: kB=8,617⋅10−5k_B=8{,}617\cdot 10^{-5} eV/K, quindi a T=300T=300 K: kBT=25,85k_BT=25{,}85 meV.

Perché 0.695 cm⁻¹/K è onnipresente

Negli esami molecolari (rotazionale, Boltzmann, hot bands) si confronta sempre kBTk_BT con ν~0\tilde\nu_0 o ΔE01\Delta E_{01}: la costante kB/(hc)=0,695k_B/(hc)=0{,}695 cm⁻¹/K è la chiave di tutto. Memorizzare:

  • T=300T=300 K ⇔kBT=209\Leftrightarrow k_BT=209 cm⁻¹ =25,9=25{,}9 meV;
  • TT ambiente “pesa” come ∼200\sim 200 cm⁻¹, quindi le transazioni vibrazionali (∼1000–3000\sim 1000\text{–}3000 cm⁻¹) sono congelate, quelle rotazionali (∼1–100\sim 1\text{–}100 cm⁻¹) sono termicamente accessibili.

3. Unità atomiche di tempo e velocità

1 a.u. di tempo ↔ secondi

L’unità atomica di tempo è τ0=ℏ/Eh\tau_0=\hbar/E_h:

τ0=ℏEh=1,055⋅10−344,36⋅10−18=2,42⋅10−17 s.\tau_0=\frac{\hbar}{E_h}=\frac{1{,}055\cdot 10^{-34}}{4{,}36\cdot 10^{-18}}=2{,}42\cdot 10^{-17}\ \mathrm{s}.

La velocità atomica è v0=a0/τ0=αc=c/137=2,19⋅106v_0=a_0/\tau_0=\alpha c=c/137=2{,}19\cdot 10^{6} m/s.

Come usarle

Per l’elettrone Auger (esame 09) si calcola v=2Kev=\sqrt{2K_e} in a.u. (me=1m_e=1); per riportare in SI si moltiplica per v0=αcv_0=\alpha c. Così Ke=1,47K_e=1{,}47 a.u. diventa v=1,71v=1{,}71 a.u. =1,71⋅2,19⋅106=3,75⋅106=1{,}71\cdot 2{,}19\cdot 10^{6}=3{,}75\cdot 10^{6} m/s.

4. Massa: mp/mem_p/m_e, u.m.a., μ\mu

Rapporto $m_p/m_e$

Dalle costanti: mp/me=1,672⋅10−27/9,109⋅10−31=1836,15m_p/m_e=1{,}672\cdot 10^{-27}/9{,}109\cdot 10^{-31}=1836{,}15. L’unità di massa atomica mum_u (1 u.m.a.) è vicina alla massa del protone:

1 u.m.a.=1,661⋅10−27 kg=1822,9 me.1\ \mathrm{u.m.a.}=1{,}661\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}=1822{,}9\ m_e.

Quindi mi[u.m.a.]⋅1823m_i[\mathrm{u.m.a.}]\cdot 1823 dà la massa in unità di mem_e (a.u.).

Massa ridotta di HCl in a.u.

μ=mHmCl/(mH+mCl)=1⋅35/(1+35)=0,972\mu=m_H m_{\mathrm{Cl}}/(m_H+m_{\mathrm{Cl}})=1\cdot 35/(1+35)=0{,}972 u.m.a. In a.u.: μ=0,972⋅1823=1772 me\mu=0{,}972\cdot 1823=1772\ m_e. È il numero che si usa nella formula B=1/(2μR02)B=1/(2\mu R_0^2) per la costante rotazionale in a.u.

5. Lunghezza: a0a_0, Å, e derivati

Raggio di Bohr e conversioni
a0=4πε0ℏ2mee2=0,529 A˚=5,29⋅10−11 m,1 A˚=1,890 a0.a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2}=0{,}529\ \text{Å}=5{,}29\cdot 10^{-11}\ \mathrm{m}, \qquad 1\ \text{Å}=1{,}890\ a_0.

Riepilogo delle conversioni derivate

DaAFattore
1 cm⁻¹a.u.4,556⋅10−64{,}556\cdot 10^{-6}
1 cm⁻¹eV1,2398⋅10−41{,}2398\cdot 10^{-4}
1 eVcm⁻¹8065,548065{,}54
1 Kcm⁻¹ (kBTk_BT)0,6950{,}695
1 KmeV (kBTk_BT)0,08620{,}0862
1 u.m.a.mem_e1822,91822{,}9
1 Åa0a_01,8901{,}890
1 a.u. (tempo)s2,42⋅10−172{,}42\cdot 10^{-17}
1 a.u. (velocità)m/sαc=2,19⋅106\alpha c=2{,}19\cdot 10^{6}
Collegamenti
  • Per la tabella delle costanti fondamentali e delle conversioni compatte, vedi costanti.
  • Per applicazioni specifiche di queste conversioni nei conti Morse, Zeeman, Boltzmann: si trovano in tutti gli esami molecolari (05, 14, 22, 28, 34, 40, 44) e atomici (15, 27, 35) — cerca “in a.u.” o “0.695” nella pagina esami.