Densità di stati (1D/2D/3D, Van Hove), energia e superficie di Fermi

Obiettivo della pagina

Nel cap. 10 abbiamo scritto la dispersione $\varepsilon(k)=\epsilon-2t\cos(ka)$ del solido. Qui ci chiediamo: quanti stati ci sono a ogni energia? Questa è la densità di stati $g(\varepsilon)$ , e la sua forma — che cambia con la dimensionalità — determina quasi tutte le proprietà macroscopiche (capacità termica, conducibilità, risposta ottica). Poi individuiamo l’energia di Fermi e la sua geometria (punto/linea/superficie) nello spazio $k$ .

Contare gli stati: spaziatura in $k$

I valori permessi di $k$ sono quantizzati: $k_m=2\pi m/(Na)$ , distanziati di

Spaziatura tra stati permessi

\frac{2\pi}{N}\Delta m=a\,\Delta k\ \xrightarrow{\Delta m=1}\ \Delta k=\frac{2\pi}{L},\qquad L=Na

La periodicità ( $a$ ) fissa $k_{\max}=\pi/a$ ; la lunghezza finita ( $L$ ) fissa $\Delta k=2\pi/L$ .

Densità di stati — caso 1D (derivazione completa)

Definiamo $g(\varepsilon)$ come il numero di stati per unità di energia:

Definizione e cambio di variabile

dN=g(\varepsilon)\,d\varepsilon=g(k)\,dk\quad\Longrightarrow\quad g(\varepsilon)=\frac{g(k)}{\left|\frac{d\varepsilon}{dk}\right|}

DOS 1D del tight-binding, passo per passo

Densità in $k$ : ogni stato occupa $\Delta k=2\pi/L$ . Contando lo spin (2) e la simmetria $\pm k$ (2 stati allo stesso $\varepsilon$ ), il numero di stati in $dk$ è $g(k)\,dk=4\cdot\frac{L}{2\pi}dk$ , cioè $g(k)=\dfrac{2L}{\pi}$ .
Velocità di gruppo: $\dfrac{d\varepsilon}{dk}=\dfrac{d}{dk}\bigl(\epsilon-2t\cos(ka)\bigr)=2ta\sin(ka)$ .
Eliminare $k$ : da $\varepsilon-\epsilon=-2t\cos(ka)$ si ha $\sin^2(ka)=1-\bigl(\tfrac{\varepsilon-\epsilon}{2t}\bigr)^2$ , quindi $|\sin(ka)|=\sqrt{1-\bigl(\tfrac{\varepsilon-\epsilon}{2t}\bigr)^2}$ .
Risultato: $g(\varepsilon)=\frac{2L/\pi}{2ta\sqrt{1-\bigl(\tfrac{\varepsilon-\epsilon}{2t}\bigr)^2}} =\frac{2L}{\pi a}\,\frac{1}{\sqrt{4t^2-(\varepsilon-\epsilon)^2}}$

Singolarità di Van Hove (1D): divergenza ai bordi

Ai bordi della banda, $\varepsilon\to\epsilon\pm2t$ , il denominatore si annulla: $g(\varepsilon)\to\infty$ . Fisicamente, lì $\frac{d\varepsilon}{dk}=0$ (velocità di gruppo nulla): tanti stati si accumulano in una «striscia» energetica infinitesima. È la singolarità di Van Hove. In 1D è una divergenza vera e propria; in 2D e 3D si ammorbidisce.

Estensiva o intensiva?

$g(\varepsilon)\propto L$ : è estensiva (cresce col sistema). La si rende intensiva dividendo per $N=L/a$ (stati per atomo): $g(\varepsilon)/N=\frac{2}{\pi}/\sqrt{4t^2-(\varepsilon-\epsilon)^2}$ .

Generalizzazione 2D e 3D

La dispersione si somma sulle direzioni: $\varepsilon(\vec k)=\epsilon-2t\sum_i\cos(k_i a)$ .

Range delle bande per dimensione

\text{1D: }\epsilon\pm2t\ (W=4t)\qquad \text{2D: }\epsilon\pm4t\ (W=8t)\qquad \text{3D: }\epsilon\pm6t\ (W=12t)

La forma della DOS cambia drammaticamente:

Dim	Forma	Singolarità di Van Hove
1D	diverge ai bordi	$\propto1/\sqrt{\cdots}$ ai bordi ( $v_g=0$ )
2D	finita ai bordi, picco al centro	logaritmica al centro $\varepsilon=\epsilon$
3D	«a campana», nulla ai bordi	finita (punti di sella, nessuna divergenza)

Densità di stati del tight-binding per dimensione

Stessa dispersione ε=ε₀−2t·Σcos(k_i a), ma la forma della DOS cambia con la dimensione. In 1D gli stati si addensano ai bordi (divergenza di Van Hove, dove la velocità di gruppo si annulla); in 2D c'è una singolarità logaritmica al centro della banda; in 3D la curva è smussata e va a zero ai bordi. È la geometriadella superficie a energia costante nello spazio k a dettare la forma.

Perché la 2D ha una singolarità al centro e non ai bordi?

In 2D i punti con velocità di gruppo nulla (dove $\nabla_k\varepsilon=0$ ) stanno al centro della banda ( $k_x=k_y=0$ e i vertici della zona), non ai bordi energetici. Lì la curvatura mista genera la singolarità logaritmica. È un fatto geometrico: la DOS misura «quanto è grande» la superficie a energia costante nello spazio $k$ , e questa superficie ha comportamenti diversi per dimensione diversa.

Energia di Fermi (caso monovalente, $T=0$ )

L’energia di Fermi è il livello più alto occupato a $T=0$ . Per un metallo monovalente (un elettrone di valenza per atomo), la banda ha $N$ elettroni su $2N$ posti: è riempita a metà. Per la dispersione simmetrica $\varepsilon(k)=\epsilon-2t\cos(ka)$ , metà banda riempita significa riempire i livelli fino al centro della dispersione:

Energia di Fermi del monovalente (tight-binding)

N_e=2\int_{-\infty}^{\epsilon_F}g(\varepsilon)\,d\varepsilon,\qquad \text{metà banda}\ \Longrightarrow\ \epsilon_F=\epsilon

Geometria di Fermi: punto, linea, superficie

La «superficie» di Fermi nello spazio $k$ separa gli stati occupati da quelli vuoti. La sua dimensione è quella del sistema meno uno:

Punto, linea, superficie di Fermi (monovalente, $\epsilon_F=\epsilon$)

\text{1D: } k_F=\pm\frac{\pi}{2a}\quad(\cos k_Fa=0)\qquad \text{2D: } \cos(k_xa)+\cos(k_ya)=0\quad(\text{losanga})

\text{3D: } \cos(k_xa)+\cos(k_ya)+\cos(k_za)=0

Geometria di Fermi a metà riempimento (monovalente)

Per un metallo monovalente la banda è riempita a metà, quindi ε_F=ε₀ (centro della banda). La «superficie» che separa stati occupati (area colorata) da vuoti è un puntoin 1D (k_F=±π/2a), una linea in 2D (losanga), una superficiein 3D. Sono solo gli elettroni su questo bordo a poter essere eccitati: conducono.

La geometria di Fermi è la «mappa della conducibilità»

Solo gli elettroni sulla superficie di Fermi possono essere eccitati con un’energia infinitesima (hanno stati vuoti subito sopra). Sono loro a portare la corrente e il calore. Più la superficie è «grande»/connessa, più il metallo è buon conduttore. Da qui l’importanza di conoscerne la forma (sfera per elettroni liberi, losanga/polsiedro per tight-binding reale).

Il caso 3D dell’elettrone libero (pont a Sommerfeld)

Per il modello di Sommerfeld (elettroni liberi, $\varepsilon=\hbar^2k^2/2m$ ) la superficie di Fermi è una sfera di raggio $k_F$ :

Sfera di Fermi (elettrone libero, monovalente)

k_F=(3\pi^2 n)^{1/3},\qquad \epsilon_F=\frac{\hbar^2 k_F^2}{2m},\qquad n=\frac{N}{V}

Superficie di Fermi (sezione dello spazio k)

densità n

A T=0 tutti gli stati con |k| ≤ k_F sono occupati (sfera piena). La **superficie** (bordo) separa gli occupati dai vuoti: solo gli elettroni lì possono cambiare stato minimamente → sono gli unici a portare corrente e calore (spiega C_e∝T e la conduzione di Sommerfeld).

Rame (Cu): dalla densità alla sfera di Fermi

Cu monovalente, $n=8{,}47\cdot10^{22}$ cm⁻³. Da $k_F=(3\pi^2 n)^{1/3}$ : $k_F=1{,}36\cdot10^{8}$ cm⁻¹, $\epsilon_F=\hbar^2k_F^2/2m=7{,}0$ eV, $v_F=\hbar k_F/m=1{,}57\cdot10^{6}$ m/s, $T_F=\epsilon_F/k_B=8{,}1\cdot10^{4}$ K. (Vedi cap. 13 per la tabella completa dei metalli.)

Formule chiave

Spaziatura $k$ : $\Delta k=2\pi/L$ ; periodicità fissa $k_{\max}=\pi/a$
Definizione DOS: $g(\varepsilon)=g(k)/|d\varepsilon/dk|$
1D: $g(\varepsilon)=\frac{2L}{\pi a}\frac{1}{\sqrt{4t^2-(\varepsilon-\epsilon)^2}}$ (diverge ai bordi, Van Hove)
2D: singolarità logaritmica al centro $\epsilon$ ; 3D: campana, nessuna divergenza
Range: $W=4t$ (1D), $8t$ (2D), $12t$ (3D)
Monovalente: $\epsilon_F=\epsilon$ (metà banda)
Fermi: punto $k_F=\pm\pi/2a$ (1D), losanga (2D), superficie (3D)
Elettrone libero: $k_F=(3\pi^2 n)^{1/3}$ , sfera di Fermi

Esami correlati

I concetti di DOS e superficie di Fermi ricorrono nei calcoli su metalli:

esame 11 — sommerfeld metalli (parametri di Fermi)
esame 06 — tight binding 2d (dispersione 2D)

Prossimo passo

Abbiamo contato gli stati. Ora: come si muovono e perché il modello classico di Drude fallisce? → cap. 12.