Teoria delle perturbazioni stazionarie: stati degeneri e non

Obiettivo della pagina

Quasi tutto il corso è “idrogeno + una piccola correzione”: struttura fine, Stark, Zeeman, interazione elettrone-elettrone nell’elio. La teoria delle perturbazioni è la macchina che calcola queste correzioni a partire dalla soluzione nota $\hat H_0$ .

Setup

Si scrive

Scomposizione dell'hamiltoniana

\hat H=\hat H_0+\lambda\hat V,\qquad \lambda\ll 1,

con $\hat H_0|n^{(0)}\rangle=E_n^{(0)}|n^{(0)}\rangle$ noti. Si cercano allora $E_n$ e $|n\rangle$ di $\hat H$ come serie in potenze di $\lambda$ :

E_n=E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+\lambda^2 E_n^{(2)}+\cdots,\qquad |n\rangle=|n^{(0)}\rangle+\lambda|n^{(1)}\rangle+\cdots

Stati NON degeneri

Correzioni (stato non degenere)

E_n^{(1)}=\langle n^{(0)}|\hat V|n^{(0)}\rangle,\qquad E_n^{(2)}=\sum_{m\neq n}\frac{|\langle m^{(0)}|\hat V|n^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}

|n^{(1)}\rangle=\sum_{m\neq n}\frac{\langle m^{(0)}|\hat V|n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}|m^{(0)}\rangle

Da dove vengono queste formule (audit A07)

Si impone $(\hat H_0+\lambda\hat V)(|n^{(0)}\rangle+\lambda|n^{(1)}\rangle)=(E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)})(\ldots)$ e si uguagliano i termini dello stesso ordine in $\lambda$ :

Ordine 0: $\hat H_0|n^{(0)}\rangle=E_n^{(0)}|n^{(0)}\rangle$ (banale).
Ordine 1: $\hat H_0|n^{(1)}\rangle+\hat V|n^{(0)}\rangle=E_n^{(0)}|n^{(1)}\rangle+E_n^{(1)}|n^{(0)}\rangle$ . Proiettando su $\langle n^{(0)}|$ e usando l’ortonormalità si ha subito $E_n^{(1)}=\langle n^{(0)}|\hat V|n^{(0)}\rangle$ . Proiettando su $\langle m^{(0)}|$ con $m\neq n$ : $(E_m^{(0)}-E_n^{(0)})\langle m^{(0)}|n^{(1)}\rangle+\langle m^{(0)}|\hat V|n^{(0)}\rangle=0$ , da cui $\langle m^{(0)}|n^{(1)}\rangle=\langle m^{(0)}|\hat V|n^{(0)}\rangle/(E_n^{(0)}-E_m^{(0)})$ . Il termine $\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ (componente lungo lo stato originale) è libero: lo si pone $=0$ (scelta di fase/normalizzazione “intermedia”).

Lectio magistralis sulle formule

$E_n^{(1)}$ è il valore medio della perturbazione sullo stato imperturbato.
$E_n^{(2)}$ ha il segno del denominatore: gli stati più bassi ( $E_n^{(0)}<E_m^{(0)}$ ) vengono abbassati (“repulsione dei livelli”).
Se un denominatore è piccolo (stato quasi degenere) la teoria non degenere non vale: serve quella degenere.

Stati DEGENERI

Se $E^{(0)}$ ha degenerazione $g$ (stati $|\psi_\alpha^{(0)}\rangle$ , $\alpha=1..g$ ), la formula per $|n^{(1)}\rangle$ diverge (denominatore nullo per $m$ degenere). Si gestisce diagonalizzando $\hat V$ entro il sottospazio degenere:

Perturbazione degenere: equazione secolare

\sum_{\beta=1}^{g}\Big(V_{\alpha\beta}-E^{(1)}\delta_{\alpha\beta}\Big)c_\beta=0, \qquad V_{\alpha\beta}=\langle\psi_\alpha^{(0)}|\hat V|\psi_\beta^{(0)}\rangle

\det\!\big(V-E^{(1)}\mathbb 1\big)=0

Le $g$ radici $E^{(1)}$ sono le correzioni del primo ordine; i corrispondenti autovettori $c_\beta$ danno le “combinazioni giuste” di stati imperturbati che la perturbazione seleziona (gli stati corretti a ordine zero).

Passaggio cruciale spesso dato per scontato

La diagonalizzazione degenere funziona solo se si è prima trovato lo stato corretto a ordine zero. La scelta banale $|\psi_\alpha^{(0)}\rangle$ non è detto diagonalizzi $\hat V$ : vanno cercate le combinazioni lineari che lo fanno. È esattamente ciò che accade nello Stark lineare dell’idrogeno (stati $n=2$ mixati).

Dove si userà

Applicazioni nel corso

Struttura fine (cap. 02): $\hat V=$ termine relativistico $+$ Darwin $+$ spin-orbita, trattati come perturbazioni su $H_0$ idrogenoide.
Stark (cap. 03): $\hat V=e\mathbf E\cdot\mathbf r$ ; degenere su $n=2$ .
Zeeman (cap. 03): $\hat V\propto B(L_z+2S_z)$ ; degenere o no a seconda del regime.
Elio (cap. 05): $\hat V=e^2/(4\pi\varepsilon_0 r_{12})$ tra i due elettroni.

Formule chiave

Non degenere: $E_n^{(1)}=\langle n|\hat V|n\rangle$
Secondo ordine: $E_n^{(2)}=\sum_{m\neq n}\frac{|V_{mn}|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$
Stato corretto: $|n^{(1)}\rangle=\sum_{m\neq n}\frac{V_{mn}}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}|m^{(0)}\rangle$
Degenere: $\det(V-E^{(1)}\mathbb 1)=0$ nel sottospazio degenere