Le basi $(n,l,m)$, $(l,m_l)$, $(s,m_s)$, $(j,m_j)$

Obiettivo della pagina

Nelle pagine del corso troverai di continuo coppie di numeri tra parentesi: $|n,l,m\rangle$, $|l,m_l\rangle$, $|s,m_s\rangle$, $|j,m_j\rangle$. Sono basi, cioè insiemi completi di autostati simultanei di un certo gruppo di operatori che commutano. Capire quale base si sta usando evita di confondere $m$ (orbitale) con $m_s$ (spin) o $m_j$ (totale).

Cosa rende “completa” una base

Un insieme di operatori hermitiani che commutano a due a due ammette una base di autostati simultanei. Se gli autovalori bastano a etichettare univocamente ogni stato, l’insieme si dice completo di operatori che commutano (CSCO). Ogni base sotto è la CSCO di un gruppo fisico di operatori.

1. Base $(n,l,m_l)$ — l’idrogenoide

È la base degli autostati dell’hamiltoniana coulombiana (un elettrone in campo $1/r$):

Numero	Nome	Range	Significato
$n$	principale	$1,2,3,\dots$	livello energetico (guscio)
$l$	orbitale	$0,\dots,n{-}1$	momento angolare orbitale (sottostrato)
$m_l$	magnetico	$-l,\dots,l$	proiezione $L_z$

Gli autostati soddisfano $\hat H|nlm\rangle=E_n|nlm\rangle$ con $E_n\propto -1/n^2$ (degenerazione $n^2$ senza spin, $2n^2$ con spin). Le funzioni d’onda si fattorizzano in parte radiale $R_{nl}(r)$ e armonica sferica $Y_l^{m_l}(\theta,\varphi)$.

2. Base $(l,m_l)$ — solo orbitale

Etichetta gli autostati di $\hat{\mathbf L}^2$ e $\hat L_z$ a prescindere da $n$:

$$\hat{\mathbf L}^2|l,m_l\rangle=\hbar^2l(l{+}1)|l,m_l\rangle,\qquad \hat L_z|l,m_l\rangle=\hbar m_l|l,m_l\rangle.$$

Si usa quando l’energia non è l’aspetto interessante (es. calcolo delle regole di selezione angolari, in cui entra solo $Y_l^m$).

3. Base $(s,m_s)$ — solo spin

Etichetta gli autostati di $\hat{\mathbf S}^2$ e $\hat S_z$. Per un elettrone $s=\tfrac12$ e ci sono due stati, spesso scritti $|\!\uparrow\rangle$ ($m_s=+\tfrac12$) e $|\!\downarrow\rangle$ ($m_s=-\tfrac12$). Il prodotto di una base orbitale per questa base spin dà la base con spin $|n,l,m_l;s,m_s\rangle$.

4. Base $(j,m_j)$ — momento totale

Quando l’interazione spin-orbita (cap. 02) mescola $\mathbf L$ ed $\mathbf S$, $m_l$ ed $m_s$ smettono di essere buoni numeri quantici, mentre $j$ ed $m_j$ lo restano:

$$\hat{\mathbf J}^2|j,m_j\rangle=\hbar^2j(j{+}1)|j,m_j\rangle,\qquad \hat J_z|j,m_j\rangle=\hbar m_j|j,m_j\rangle.$$

Tavola sinottica

Base	Operatori simultaneamente diagonalizzati	Quando si usa
$(n,l,m_l)$	$\hat H,\hat{\mathbf L}^2,\hat L_z$	livelli idrogenoidi, orbitali
$(l,m_l)$	$\hat{\mathbf L}^2,\hat L_z$	parte angolare, regole di selezione
$(s,m_s)$	$\hat{\mathbf S}^2,\hat S_z$	spin, stati di spin
$(j,m_j)$	$\hat{\mathbf J}^2,\hat J_z$	struttura fine, Zeeman debole

Formule chiave

• CSCO idrogenoide: $\{\hat H,\hat{\mathbf L}^2,\hat L_z\}$, stati $|n,l,m_l\rangle$
• Range: $l=0..n{-}1$, $m_l=-l..l$, $s=\tfrac12$, $m_s=\pm\tfrac12$
• $j=|l-s|..l+s$, $m_j=-j..j$
• Lettere: $l=0,1,2,3\to s,p,d,f$