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Lezione 0

Simmetrie, commutatori e grandezze conservate

math-checked
Prerequisiti: prereq/meccanica-quantistica
Sorgente: PREREQ · Simmetrie e commutatori (p.9)
aggiornato 2026-06-18

Obiettivo della pagina

Capire perché, nell’idrogeno, l’energia, L2L^2 ed LzL_z sono “numeri buoni”, e perché in un atomo complesso certe grandezze smettono di esserlo. Il tutto si riassume in una sola idea: commutare con H^\hat H significa essere conservati.

Commutatore

Commutatore
[A^,B^]≡A^B^−B^A^.[\hat A,\hat B]\equiv\hat A\hat B-\hat B\hat A.

Se [A^,B^]=0[\hat A,\hat B]=0, A^\hat A e B^\hat B sono simultaneamente diagonalizzabili (ammettono una base comune di autostati) e si possono misurare insieme senza indeterminazione.

Conservazione = commutazione con H^\hat H

Grandezze conservate

Se A^\hat A non dipende esplicitamente dal tempo e [A^,H^]=0[\hat A,\hat H]=0, allora il valore medio ⟨A^⟩\langle\hat A\rangle è costante nel tempo e, se lo stato è un autostato di A^\hat A con autovalore aa, lo resta per sempre.

Dimostrazione via equazione di Ehrenfest

L’equazione di Ehrenfest per un operatore A^(t)\hat A(t) (senza dipendenza esplicita da tt) è

ddt⟨A^⟩=iℏ⟨[H^,A^]⟩.\frac{d}{dt}\langle\hat A\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[\hat H,\hat A]\rangle.

Se [H^,A^]=0[\hat H,\hat A]=0 il membro destro si annulla e ddt⟨A^⟩=0\frac{d}{dt}\langle\hat A\rangle=0. ∎

Simmetria e base comune

La commutazione ha spesso un’interpretazione geometrica: riflette una simmetria del sistema. Hamiltoniana invariante sotto rotazioni ⇒\Rightarrow [H^,L^2]=[H^,L^z]=0[\hat H,\hat{\mathbf L}^2]=[\hat H,\hat L_z]=0 ⇒\Rightarrow l,mll,m_l sono buoni numeri quantici.

Cosa rompe la simmetria (anticipo)
  • Campo elettrico esterno (Stark, cap. 03): rompe la simmetria sferica → ll non è più buono (ma in certi casi resta mlm_l, “parità magnetica”).
  • Campo magnetico (Zeeman, cap. 03): si sceglie l’asse zz → mm è ancora buono ma degenerazione sollevata.
  • Spin-orbita (cap. 02): L\mathbf L ed S\mathbf S non si conservano più separatamente, ma J\mathbf J sì.

Conseguenza operativa: operatori diagonali

Un operatore che commuta con la CSCO è diagonale in quella base: i suoi elementi di matrice ⟨n′l′m′∣O^∣nlm⟩\langle n'l'm'|\hat O|nlm\rangle sono nulli se (n′l′m′)≠(nlm)(n'l'm')\neq(nlm). Questa è la chiave matematica delle regole di selezione (cap. 03): un operatore di perturbazione “mischia” solo gli stati per cui ha elementi non diagonali.

Formule chiave

  • [A^,H^]=0 ⇒ A^[\hat A,\hat H]=0\ \Rightarrow\ \hat A conservato
  • Ehrenfest: ddt⟨A^⟩=iℏ⟨[H^,A^]⟩+⟨∂tA^⟩\frac{d}{dt}\langle\hat A\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[\hat H,\hat A]\rangle+\langle\partial_t\hat A\rangle
  • [H^,L^2]=[H^,L^z]=0[\hat H,\hat{\mathbf L}^2]=[\hat H,\hat L_z]=0 in campo centrale
  • Operatore che commuta con CSCO ⇒\Rightarrow diagonale in quella base