Valore medio, operatori diagonali e numeri quantici buoni

Obiettivo della pagina

Tutta la spettroscopia si riduce a calcolare elementi di matrice $\langle i|\hat O|j\rangle$ : dicono se una transizione è permessa, quanto vale una correzione energetica, quale stato si mischia con quale. Qui definiamo valore medio e “diagonalità”, gli strumenti per quei conti.

Valore medio (valore atteso)

Valore medio di un'osservabile

\langle\hat A\rangle=\langle\psi|\hat A|\psi\rangle

Rappresenta la media sui molti esiti di misure ripetute su copie identiche preparate nello stato $|\psi\rangle$ .

In rappresentazione di posizione:

\langle\hat A\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*(\mathbf r)\,\hat A\,\psi(\mathbf r)\,d^3r,

mentre su una base ortonormale discreta $\{|i\rangle\}$ :

\langle\hat A\rangle=\sum_{ij}c_i^*\,c_j\,\langle i|\hat A|j\rangle, \qquad c_i=\langle i|\psi\rangle.

Gli $A_{ij}\equiv\langle i|\hat A|j\rangle$ sono gli elementi di matrice dell’operatore nella base scelta.

Operatore diagonale

Diagonalità rispetto a numeri quantici

$\hat O$ è diagonale rispetto a un insieme di numeri quantici (es. $n,l,m$ ) se

\langle n',l',m'|\hat O|n,l,m\rangle=0\quad\text{per }(n',l',m')\neq(n,l,m).

Gli unici elementi non nulli stanno sulla diagonale e coincidono con gli autovalori $O_{nlm}=\lambda_{nlm}$ .

In parole: un operatore diagonale non mischia stati con numeri quantici diversi. Non induce transizioni $n\to n'$ , $l\to l'$ , $m\to m'$ : i numeri rispetto a cui è diagonale restano costanti.

Diagonale vs non diagonale

$\hat L_z$ è diagonale in $m$ : $\hat L_z|l,m\rangle=\hbar m|l,m\rangle$ non cambia $m$ .
$\hat L_\pm$ non è diagonale: $\hat L_\pm|l,m\rangle=\hbar\sqrt{l(l{+}1)-m(m{\pm}1)}\,|l,m{\pm}1\rangle$ cambia $m$ di $\pm1$ .

Diagonale in una base non significa essere una costante

Un operatore può essere diagonale in una base e non in un’altra. $\hat L_z$ è diagonale in $|l,m\rangle$ ma non in una base di momenti $|p\rangle$ . La diagonalità è sempre rispetto a una base/CSCO specifica.

Numeri quantici buoni

Un numero quantico è buono per un dato $\hat H$ se l’operatore che lo genera commuta con $\hat H$ (→ è conservato, → è diagonale nella base degli autostati di $\hat H$ ). Sapere quali numeri sono buoni semplifica enormemente i conti perché azzera a priori intere sottomatrici.

Mappa del corso

Nell’idrogeno non perturbato: $n,l,m_l,s,m_s$ sono tutti buoni. Con la spin-orbita: $l,m_l,s,m_s$ non lo sono più, ma $j,m_j$ sì. Con un campo esterno forte: si torna a $m_l,m_s$ . Sapere in che regime sei ti dice quale base usare.

Formule chiave

$\langle\hat A\rangle=\langle\psi|\hat A|\psi\rangle=\int\psi^*\hat A\psi\,d^3r$
$A_{ij}=\langle i|\hat A|j\rangle$ elemento di matrice
$\hat O$ diagonale $\Leftrightarrow A_{ij}=0$ per $i\neq j$
Numero “buono” $\Leftrightarrow$ operatore commuta con $\hat H$