Il modello classico di Drude e i suoi fallimenti

• Elettroni di valenza liberi e indipendenti (niente interazione e-e).
• Nessuna interazione con i nuclei se non tramite collisioni istantanee con il reticolo (nuclei + core) visto come insieme di «oggetti immobili».
• Tra due collisioni l’elettrone viaggia libero per un tempo di rilassamento $\tau$ (frequenza di collisione $1/\tau$); le collisioni randomizzano la direzione e mantengono la temperatura.
• Statistica classica di Maxwell–Boltzmann $\Rightarrow$ equipartizione.

$n=\dfrac{8{,}96\cdot6{,}022\cdot10^{23}}{63{,}55}=8{,}49\cdot10^{22}\ \text{cm}^{-3}=8{,}49\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$.

$v_{\text{rms}}\sim10^5$ m/s è la previsione classica. La velocità reale degli elettroni che conducono è $v_F\sim10^6$ m/s ($=10^8$ cm/s): un ordine di grandezza in più. Il sorgente a volte scrive «$10^6$ cm/s» per $v_F$: è un refuso di unità ($10^6$ m/s $=10^8$ cm/s, vedi audit). Il punto è che Drude sottostima la velocità di un fattore ~10.

1. Forza del campo: $\vec F=-e\vec E$.
2. Accelerazione tra due collisioni: $\vec a=\vec F/m=-e\vec E/m$.
3. Velocità di deriva accumulata nel tempo $\tau$: $\vec v_{\text{avg}}=\vec a\,\tau=-\dfrac{e\tau}{m}\vec E$.
4. Densità di corrente: $\vec j=-ne\,\vec v_{\text{avg}}=\dfrac{ne^2\tau}{m}\vec E$.
5. Confronto con $\vec j=\sigma\vec E$: $$\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}\quad(\Rightarrow\ \rho=\frac{1}{\sigma}=\frac{m}{ne^2\tau})$$

La forma $\sigma=ne^2\tau/m$ è giusta e Sommerfeld la ritroverà tale e quale. Quello che cambia è il significato di $v$ e $\tau$: non più $v_{\text{rms}}$ ma $v_F$, e $\tau$ legato allo scattering dei fononi (non a «urti con atomi fissi»).

Dalla $\sigma$ misurata ($\approx6\cdot10^7$ S/m) si inverte: $\tau=\dfrac{m\sigma}{ne^2}\approx\dfrac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot6\cdot10^7}{8{,}49\cdot10^{28}\cdot(1{,}6\cdot10^{-19})^2}\approx2{,}5\cdot10^{-14}\ \text{s}$. Con $v_{\text{rms}}\sim10^5$ m/s: $\ell=v_{\text{rms}}\tau\sim2{,}5\cdot10^{-9}$ m $\sim0{,}1$ nm, compatibile col passo reticolare. Sembra un successo… ma è il punto debole (vedi oltre).

Un celebre «trionfo» di Drude era che il suo modello dava un rapporto $\kappa/\sigma$ numericamente vicino all’esperimento. Ma non la formula quantistica esatta: con la teoria cinetica classica ($\kappa=\tfrac13 C_v v\ell$, $C_v=\tfrac32 nk_B$, $v=v_{\text{rms}}$, $\ell=v_{\text{rms}}\tau$) si ottiene $L_{\text{Drude}}=\tfrac32(k_B/e)^2\approx1{,}24\cdot10^{-8}$, cioè circa metà del valore esatto (Sommerfeld). Il sorgente attribuisce a Drude la formula con $\pi^2/3$: è impreciso.

Drude sovrastima $C_v$ (usa $\tfrac32 nk_B$, ~100× troppo grande rispetto al risultato quantistico) ma sottostima $v^2$ (usa $v_{\text{rms}}^2$ invece di $v_F^2$, ~100× troppo piccola). Nel prodotto $C_v\cdot v^2$ che entra in $\kappa$ i due errori si compensano, e $\kappa/\sigma$ esce vicino al valore giusto. Un caso fortuito, non una prova di correttezza.

Drude usa Maxwell–Boltzmann ($v\sim10^5$ m/s). Gli elettroni nei metalli seguono Fermi–Dirac: solo quelli vicino a $\epsilon_F$ partecipano al trasporto, con $v_F\sim10^6$ m/s.

$C_e=\tfrac32 Nk_B$ è ~100× troppo grande; il valore reale è $\propto T$ e trascurabile a $T$ ambiente rispetto ai fononi.

Drude non spiega perché $\rho\to0$ per $T\to0$ nei metalli puri: la resistività è dominata dallo scattering con i fononi (quanti di vibrazione reticolare), che si «congelano» a bassa $T$. Drude ignorava i fononi.

$\ell\sim0{,}1$ nm sembra giusto (passo reticolare) ma per le ragioni sbagliate: gli elettroni sono onde (stati di Bloch) che attraversano un reticolo perfetto senza scattering. Il vero $\ell=v_F\tau\sim100$ Å a $T$ ambiente, e cresce enormemente a bassa $T$.

Nonostante tutto, $\sigma=ne^2\tau/m$ resta valida: la struttura «campo $\to$ deriva limitata dagli urti $\to$ corrente» è geometricamente corretta. Drude sbaglia il contenuto statistico ($v$, $C_v$, natura di $\tau$), non lo schema del trasporto.

La forma di $\sigma$ e la legge di Wiedemann–Franz ricorrono nei calcoli su metalli:

• esame 11 — sommerfeld metalli (parametri di trasporto)

Come risolve Sommerfeld tutti questi fallimenti con una sola idea (Fermi–Dirac)? → cap. 13.