Il modello quantistico di Sommerfeld: gas di Fermi degenere

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Il modello di Sommerfeld (1928) corregge Drude con una sola idea, devastante: gli elettroni non sono un gas classico, sono un gas di Fermi degenere, descritto dalla statistica di Fermi–Dirac. Mantiene l’immagine dell’elettrone libero ma cambia tutto il resto — e risolve i quattro fallimenti di Drude. È il trionfo della meccanica quantistica sulla fisica classica nei solidi.

1. Elettrone libero: equazione di Schrödinger

Particella libera e dispersione

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\phi}{dx^2}=\varepsilon\phi,\quad \phi=Ae^{ikx}+Be^{-ikx},\quad \varepsilon=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}

La dispersione è quadratica (non più il coseno del tight-binding): non c’è un reticolo, qui gli elettroni sono liberi in una scatola. Le conseguenze (zona di Brillouin, gap) arriveranno solo reintroducendo il reticolo nel cap. 14.

2. Condizioni periodiche e quantizzazione di $k$

Imponendo $\phi(x+L)=\phi(x)$ (Born–von Karman):

Quantizzazione del vettore d'onda

k_x=\frac{2\pi}{L}n_x,\quad k_y=\frac{2\pi}{L}n_y,\quad k_z=\frac{2\pi}{L}n_z\qquad(n_i\in\mathbb Z)

La scatola finita discretizza $k$ (spaziatura $2\pi/L$ ); gli $n_i$ sono interi di quantizzazione (da non confondere con la densità $n$ , vedi audit).

3. Statistica di Fermi–Dirac

Distribuzione di Fermi–Dirac

f(\varepsilon,T)=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/k_BT}+1},\qquad \mu(T=0)=\varepsilon_F

A $T=0$ è un gradino: tutto pieno sotto $\varepsilon_F$ , vuoto sopra. A $T>0$ si smussa su una larghezza $\sim k_BT$ attorno a $\varepsilon_F$ .

Distribuzione di Fermi–Dirac

T/T_F

A T=0 (tratteggio) tutti gli stati sotto ε_F sono pieni. A T>0 solo gli elettroni in una shell ~kT attorno a ε_F sono termicamente eccitabili: è la chiave della capacità termica lineare e della conducibilità di Sommerfeld.

4. Densità di stati (elettrone libero)

DOS 3D del gas libero, passo per passo

Densità in $k$ (3D): stati in una shell di raggio $k$ e spessore $dk$ , con volume $4\pi k^2 dk$ , densità $V/(2\pi)^3$ per stato e fattore 2 di spin: $g(k)\,dk=2\cdot\dfrac{V}{(2\pi)^3}\cdot4\pi k^2 dk\ \Rightarrow\ g(k)=\dfrac{V}{\pi^2}k^2$ .
Cambio di variabile: $g(\varepsilon)=g(k)\bigl|\frac{dk}{d\varepsilon}\bigr|$ con $\frac{d\varepsilon}{dk}=\frac{\hbar^2 k}{m}$ e $k=\sqrt{2m\varepsilon}/\hbar$ .
Risultato: $g(\varepsilon)=\frac{V}{2\pi^2}\frac{(2m)^{3/2}}{\hbar^3}\sqrt{\varepsilon}$

DOS 3D in funzione di $\varepsilon_F$ (forma intensiva)

g(\varepsilon)=\frac{3N}{2\varepsilon_F}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_F}}=\frac{3V}{2}\frac{n}{\varepsilon_F}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_F}}

In 1D invece $g(\varepsilon)\propto 1/\sqrt{\varepsilon}$ (l’inverso). La dipendenza dalla dimensione è la stessa del tight-binding: cambia solo la dispersione (parabola invece di coseno).

Energia media a $T=0$ : $\langle\varepsilon\rangle=3\varepsilon_F/5$

Calcolo dell'energia media

\langle\varepsilon\rangle=\frac{\int_0^{\varepsilon_F}\varepsilon\,g(\varepsilon)\,d\varepsilon}{\int_0^{\varepsilon_F}g(\varepsilon)\,d\varepsilon} =\frac{\int_0^{\varepsilon_F}\varepsilon\sqrt{\varepsilon}\,d\varepsilon}{\int_0^{\varepsilon_F}\sqrt{\varepsilon}\,d\varepsilon} =\frac{\tfrac25\varepsilon_F^{5/2}}{\tfrac23\varepsilon_F^{3/2}}=\frac{3}{5}\varepsilon_F

Anche a $T=0$ gli elettroni hanno energia cinetica (Pauli vieta loro di stare tutti sul fondo): il gas è completamente degenere.

Capacità termica lineare (il trionfo)

Perché $C_e\propto T$ e non $\tfrac32 Nk_B$

Solo gli elettroni in una shell $\sim k_BT$ attorno a $\varepsilon_F$ possono assorbire calore (gli altri sono «bloccati» da Pauli): $N_f\sim g(\varepsilon_F)\,k_BT$ , cioè $N_f/N\sim k_BT/\varepsilon_F=T/T_F$ .
Ciascuno guadagna $\sim k_BT$ : $E_{\text{term}}\sim N_f\,k_BT\sim g(\varepsilon_F)(k_BT)^2$ .
Derivando: $C_e=\dfrac{\partial E}{\partial T}\sim 2\,g(\varepsilon_F)k_B^2 T$ . Il calcolo esatto (integrale con Fermi–Dirac) dà il prefattore $\pi^2/3$ : $C_e=\frac{\pi^2}{3}\,g(\varepsilon_F)\,k_B^2\,T \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{C_e}{N}=\frac{\pi^2}{2}\,k_B\,\frac{T}{T_F}$

Drude vs Sommerfeld: capacità termica elettronica

Drude (statistica classica) prevede C_e = 3/2·N·k_B, enorme come i fononi. Sommerfeld (Fermi–Dirac) dà C_e ∝ T, perché solo gli elettroni in ~kT attorno a ε_F assorbono calore: a T ambiente C_e è ~100× più piccola del previsto. È il trionfo del modello quantistico.

Il fattore ~100 del «trionfo»

A $T$ ambiente $T/T_F\sim10^{-2}$ , dunque $C_e\sim1\%$ di $\tfrac32 Nk_B$ : trascurabile rispetto ai fononi ( $\propto T^3$ ). Sommerfeld riduce il $C_e$ di Drude di un fattore ~100, in accordo con l’esperimento. (A $T$ molto basse $C_e\propto T$ batte $C_{\text{fononi}}\propto T^3$ .)

Oro: il coefficiente $\gamma$ a confronto col dato

Per Au ( $T_F=6{,}42\cdot10^4$ K): $\gamma=\dfrac{\pi^2 R}{2T_F}=\dfrac{\pi^2\cdot1{,}986}{2\cdot6{,}42\cdot10^4}=1{,}53\cdot10^{-4}$ cal/mol/K², da confrontare con lo sperimentale $\sim1{,}6\cdot10^{-4}$ : errore di Sommerfeld solo ~4%. (Il resto si spiega con la massa efficace $m^*\neq m_e$ .)

Parametri di Fermi e liberi cammini medi

Velocità, temperatura e cammino libero

v_F=\sqrt{\frac{2\varepsilon_F}{m}}\sim10^6\ \text{m/s},\quad T_F=\frac{\varepsilon_F}{k_B}\sim10^4\text{–}10^5\ \text{K},\quad \ell=v_F\tau\sim100\ \text{Å}\ (T=300\ \text{K})

Poiché $v_F$ non dipende da $T$ , a bassa temperatura l’aumento di $\tau$ (meno scattering fononico) fa crescere $\ell$ : ecco spiegato il mistero del cammino libero che Drude non vedeva. $\ell\gg a$ perché l’elettrone è un’onda di Bloch che attraversa il reticolo perfetto.

Audit A33: la tabella dei parametri (unità di $v_F$)

La tabella sottostante riporta $v_F$ e $k_F$ in unità di $10^8$ cm/s e $10^8$ cm⁻¹ (esponente indicato nella prima riga, valido per tutte). Attenzione: la prosa del sorgente dice a volte « $v_F\sim10^6$ cm/s»: è un refuso — i valori corretti sono $v_F\sim10^6$ m/s $=10^8$ cm/s.

Elemento	$\varepsilon_F$ (eV)	$T_F$ ( $10^4$ K)	$v_F$ ( $10^8$ cm/s)	$k_F$ ( $10^8$ cm⁻¹)
Li	4,74	5,51	1,29	1,12
Na	3,24	3,77	1,07	0,92
K	2,12	2,46	0,86	0,75
Cu	7,00	8,16	1,57	1,36
Ag	5,49	6,38	1,39	1,20
Au	5,53	6,42	1,40	1,21
Al	11,7	13,6	2,03	1,75
Fe	11,1	13,0	1,98	1,71

Controllino relativistico

Per i metalli leggeri $v_F/c\lesssim1\%$ : il gas è non relativistico, e l’approssimazione $\varepsilon=\hbar^2k^2/2m$ è legittima.

Sommerfeld risolve i 4 fallimenti di Drude

1. Velocità $\to v_F\sim10^6$ m/s (non $10^5$)

Gli elettroni che contano sono quelli a $\varepsilon_F$ , con $v_F$ fissato da $\varepsilon_F$ (indipendente da $T$ ).

2. $C_e\propto T$, ~100× più piccola

Solo la frazione $\sim T/T_F$ degli elettroni è termica.

3. $\rho(T)\to0$ a bassa $T$

$\tau$ cresce quando i fononi si congelano; $\rho=m/(ne^2\tau)$ crolla.

4. $\ell=v_F\tau$ grande e crescente a bassa $T$

L’elettrone è un’onda (Bloch): il reticolo perfetto non disperde.

Formule chiave

Elettrone libero: $\varepsilon=\hbar^2k^2/2m$ ; BC periodiche $k_i=2\pi n_i/L$
Fermi–Dirac: $f=1/(e^{(\varepsilon-\mu)/k_BT}+1)$ , $\mu(T=0)=\varepsilon_F$
DOS 3D: $g(\varepsilon)=\frac{V}{2\pi^2}\frac{(2m)^{3/2}}{\hbar^3}\sqrt{\varepsilon}=\frac{3N}{2\varepsilon_F}\sqrt{\varepsilon/\varepsilon_F}$
$\langle\varepsilon\rangle=\tfrac35\varepsilon_F$
$C_e=\frac{\pi^2}{3}g(\varepsilon_F)k_B^2 T=\frac{\pi^2}{2}Nk_B(T/T_F)\propto T$
$v_F=\sqrt{2\varepsilon_F/m}\sim10^6$ m/s; $T_F\sim10^4$ – $10^5$ K; $\ell=v_F\tau\sim100$ Å
Conducibilità (forma identica a Drude): $\sigma=ne^2\tau/m$ , ma con $v_F$ e $\tau$ fononico

Esami correlati

I parametri di Fermi e il calore specifico lineare sono tema d’esame:

esame 11 — sommerfeld metalli

Prossimo passo

Sommerfeld ignora il reticolo. Ma il solido reale ha un reticolo: il suo potenziale periodico apre le gap. → cap. 14.