Polonio (Po, Z=84, 6p⁴): identificazione dei termini dal metodo dei J noti, righe di emissione con fascio elettronico 6 eV, regime Zeeman a B₀=173 T

L’esame 79 (Giugno 2024) copre sia atomica (Polonio) che molecolare (H₂ in LCAO con $\epsilon_s$ e $t$ funzione della distanza). Il nostro file risolve la parte atomica nei punti A, B, D secondo la traccia riportata dalla fonte OCR a disposizione; i punti C (assorbimento) e le estensioni E–F (analisi in polarizzazione in campo $B$) non sono presenti nel testo ricostruito: il PDF originale (https://sites.google.com/uniroma1.it/femtoscopy/teaching/raccolta-testi-di-esame) li contiene. Lasciamo traccia esplicita della lacuna anziché inventare testo.

Due refusi nel sorgente, già corretti:

• il termine del core è scritto ${}^4S_0$: per $L=0$ si ha $J=S$, quindi il termine di un core $p^3$ è ${}^4S_{3/2}$ (non $J=0$, impossibile). Qui usiamo ${}^4S^{o}_{3/2}$ (l’apice ° indica parità dispari del core $6p^3$).
• in audit A29 (esame 79) si discute il ground state del Polonio $6p^4$: è ${}^{3}P_{2}$, conforme alla terza Hund (shell più che semipiena → $J$ massimo), non una violazione.

Numero di sottolivelli attesi: $N=2\min(L,S)+1$ (da confrontare con $N$ osservato).

In accoppiamento LS, $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ e il modulo $J$ respira fra il valore minimo (anti-allineamento, $|L-S|$) e il massimo (allineamento, $L+S$), con passi interi. È la stessa regola dell’addizione di momenti angolari: dato $L$ ed $S$, si generano i $J$ da $|L-S|$ a $L+S$. Disinvertire sui due estremi dà $L,S$.

$L=(0+2)/2=1$ (P), $S=2-1=1$ → $2S+1=3$ (tripletto): $\boxed{{}^{3}P_{0,1,2}.}$ Sono i tre livelli a 0,000 / 0,931 / 2,086 eV. La terza Hund (shell $6p^4$ più che semipiena: 4 elettroni su 6 posti) prescrive $J_{\max}$ primo → ground state ${}^{3}P_2$ ✓ (coerente col dato sperimentale, vedi audit A29).

La shell $p$ ha $2(2l+1)=6$ spin-orbitali. Con 4 elettroni, si superano i 3 della semima. La terza Hund deriva dal segno della spin-orbita: per shell meno che semipiena il termine a $J_{\min}$ è il primo (la spin-orbita abbassa $J$ basso); per shell più che semipiena si inverte il segno e il primo diventa $J_{\max}$. La configurazione $p^4$ è il “buco” di $p^2$ e ne condivide i termini ${}^{3}P,{}^{1}D,{}^{1}S$, ma con l’ordinamento dei $J$ rovesciato. È la stessa osservazione che si fa per l’Ossigeno $2p^4$ e nello ione $\mathrm{N}^+$ se eccitato.

Imponi $|L-S|=2=L+S$. Da $L+S=L-S$ segue $S=0$ (singoletto); poi $L=2$ (D): $\boxed{{}^{1}D_{2}.}$

Il core $6p^3$ è nel termine ${}^{4}S^{o}_{3/2}$: $L_c=0$, $S_c=3/2$. L’elettrone $7s$ aggiunge $l=0$, $s=1/2$. Accoppiando:

• $L=L_c+l=0+0=0$ (termine $S$);
• $S=S_c\pm s=\{3/2+1/2,\,3/2-1/2\}=\{2,\,1\}$ → molteplicità 5 (quintetto) o 3 (tripletto).

Per $S=2$: $J=|L-S|..L+S=\{2\}$ (un solo valore, $J=2$). Per $S=1$: $J=\{1\}$. Il livello con $J=2$ corrisponde al quintetto: $\boxed{{}^{5}S_{2}.}$

Dall’accoppiamento di (c), il valore $S=1$ dà $J=\{1\}$: $\boxed{{}^{3}S_{1}.}$

$|L-S|=0=L+S$ → $L=0$, $S=0$: $\boxed{{}^{1}S_{0}.}$

La regola $\Delta P\neq 0$ lega configurazioni di parità opposta: nel dipolo elettrico si transita solo fra $6p^4$ (pari) e $6p^3 7s$ (dispari), mai dentro la stessa configurazione. È un filtro “tutto-o-niente”: se la parità non cambia, le regole di $\Delta J$, $\Delta L$, $\Delta S$ non si applicano nemmeno. Dimenticarsene porta a inventare transizioni inesistenti (es. ${}^{3}P_2\to{}^{3}P_1$ dentro $6p^4$: vietata, stessa parità).

I termini di $6p^4$ (${ }^{3}P,{}^{1}D,{}^{1}S$) sono gli stessi di $6p^2$ (carbonio, esame 01): la configurazione $p^{6-\nu}$ ha gli stessi termini di $p^\nu$ per simmetria elettrone-lacuna. Quello che cambia è l’ordinamento dei $J$ dentro ciascun termine (terza Hund rovesciata). L’esame 01 e questo sono speculari sotto questo aspetto: studiati insieme fissano il pattern per tutti i $p^\nu$.

A $T=300$ K, $k_BT=0{,}0259$ eV ≪ distanze fra i termini (~eV): la popolazione termica è tutta sul ground state ${}^{3}P_2$. Ma il fascio elettronico da 6 eV non è una sorgente termica: gli elettroni incidenti eccitano il gas per urto (Franck–Hertz), depositando energia fino a 6 eV (più del livello più alto in tabella, 5,296 eV). Tutti i livelli elencati sono dunque accessibili come stati iniziali dell’emissione, indipendentemente dalla Boltzmann.

In uno scattering elettrone-atomo, l’elettrone cede energia $\Delta E$ pari alla differenza fra stato finale ed iniziale dell’atomo. Se l’elettrone ha energia cinetica $\ge\Delta E$ può eccitare la transizione, con sezione d’urto determinata dalla regola di Fermi per urto (analoga alla regola d’oro). Non c’è fattore di Boltzmann: la popolazione dello stato iniziale del salto eccitativo dipende solo dalla sezione d’urto e dalla densità di elettroni del fascio, non dalla temperatura del gas.

Le due configurazioni in tabella sono $6p^4$ (pari) e $6p^3 7s$ (dispari); la parità obbliga il salto a essere fra le due famiglie. Applicando poi $\Delta S=0$:

1. ${}^{5}S_2$ (livello c, $S=2$) cerca partner con $S=2$ fra i termini pari (${}^{3}P,{}^{1}D,{}^{1}S$ hanno $S\in\{1,0,0\}$): nessuno. La transizione intercombination ($\Delta S\neq 0$) è vietata in LS puro. Il livello è metastabile.

2. ${}^{3}S_1$ (livello d, $S=1$) cerca partner con $S=1$ in $6p^4$: trova ${}^{3}P_{0,1,2}$ (tutti $S=1$). Controlliamo gli altri vincoli:

   • $\Delta L = 0\to 1 = +1$ ✓ (S→P);
   • $\Delta J$: $1\to 0$ ($-1$), $1\to 1$ ($0$), $1\to 2$ ($+1$): tutti permessi ✓.

3. I livelli di $6p^4$ sotto il ${}^{3}S_1$ (a 0,000 / 0,931 / 2,086 eV) sono tutti ${}^{3}P$: same configuration → nessuna ulteriore transazione E1 permessa (parità). Sono i termini finali della cascata.

Violerebbe $\Delta S=0$ ($S=2\to S=1$): è una transizione intercombination, proibita in approssimazione LS. Negli atomi pesanti (Po è Z=84) lo spin-orbita è forte e mescola termini di $S$ diverso, indebolendo la regola — la riga può apparire con piccolissima probabilità (“intercombination line”). In approssimazione LS rigorosa (questo esame) resta vietata.

La stessa struttura che abbiamo visto nell’esame 43 (As I, livello p ${}^{2}S_{1/2}$ bloccato perché il GS è quartetto) si ripresenta qui capovolta: il ${}^{5}S_2$ del Polonio è bloccato perché gli unici partner a parità opposta sono tripletti/singoletti, mentre lui è quintetto. La regola $\Delta S=0$ è la porta che crea i livelli metastabili in atomi con termini di molteplicità mista — ed è la ragione fisica delle “righe proibite” osservate in astrofisica (nebulose, aurora).

Per $R\ll 1$ l’hamiltoniana imperturbata è $H_0+H_{SO}$ (spin-orbita compresa), e il campo magnetico è perturbazione: i buoni numeri quantici sono $|L,S,J,m_J\rangle$, lo splitting è $\Delta E = \mu_B B\,g_J\,m_J$ (Landé).

Per $R\gtrsim 1$ (Paschen–Back) si spezza l’accoppiamento LS: $\mathbf{L}$ ed $\mathbf{S}$ si allineano indipendentemente a $\mathbf{B}$, e i buoni numeri sono $|m_L,m_S\rangle$ con $\Delta E = \mu_B B(m_L+2m_S)$.

Per $B_0=173$ T nel Polonio: $R\sim 10^{-2}$, quindi ben dentro il regime debole, non Paschen–Back.

Lo splitting totale del livello è $2\mu_B B g_J J = 2\cdot(5{,}788\cdot 10^{-5})\cdot 173\cdot 1{,}5\cdot 2 \approx \mathbf{60\ meV}$ (su $2J+1=5$ sottolivelli $m_J=-2,-1,0,+1,+2$).

A 173 T lo splitting sarebbe $\sim 60$ meV, visivamente comparabile con la struttura fine: sarebbe già regime intermedio. Lo slider del componente arriva a 5 T, sufficienti per visualizzare il pattern debole (sub-livelli $m_J$ equispaziati) senza uscirne. Il valore 173 T è usato nel testo per dare l’ordine di grandezza della $E_B$, non per essere rappresentato graficamente: anche a 173 T, $R=10^{-2}$ resta debole perché $\Delta E_{SO}\sim 1$ eV.

Sono in realtà estremi: i magneti superconduttori di laboratorio arrivano a ~20 T continui; i campi pulsati (Los Alamos National Lab) raggiungono ~100 T e, in brevi impulsi distruttivi, >1000 T. La scelta di $B_0=173$ T nell’esame è didattica: obbliga a fare il conto numerico di $E_B$ (senza approssimare $\mu_B B\to 0$) e a confrontarlo con $\Delta E_{SO}$ per giustificare il regime. La conclusione “campo debole” vale già per $B\lesssim 100$ T nel Polonio; campi reali ($B\sim 1$ T) sono debolissimi.

• Configurazioni, parità, accoppiamento LS: cap. 04 — Atomi a più elettroni.
• Regole di Hund, termine fondamentale, elettrone-lacuna: cap. 06 — Multipletti e termini.
• Regole di selezione E1, fattore di Landé, Zeeman anomalo vs Paschen–Back: cap. 03 — Interazione radiazione-materia.
• Esercizio gemello 01 (carbonio, $2p^2$): stessi termini ${}^{3}P,{}^{1}D,{}^{1}S$ ma con ordinamento $J$ rovesciato (shell meno che semipiena): esame 01 — Carbonio: termini.
• Esercizio gemello 31 (Polonio, $6p^4$ livelli e transizioni): stesso atomo, diverso taglio (maggior focus sulle transizioni): esame 31 — Polonio: livelli e transizioni.
• Esercizio gemello 43 (Arsenico, $4p^3$): stesso metodo di identificazione termini + cascata E1, con analisi della trappola metastabile: esame 43 — Arsenico: termini e cascata.

• esame 27 — potassio 4p doppetto spin orbita