Polonio: identificazione dei termini, righe di emissione e regime Zeeman

Testo (dati)

In tabella le energie (riferite al ground state) dei livelli del Polonio neutro sotto 6,2 eV. Per ciascuna configurazione si conoscono $J$ e l’energia:

Configurazione	term.	$J$	Energia (eV)
$6p^4$	(a)	2	0,000
$6p^4$		0	0,931
$6p^4$		1	2,086
$6p^4$	(b)	2	2,687
$6p^3[{}^4S^*]7s$	(c)	2	4,845
$6p^3[{}^4S^*]7s$	(d)	1	5,058
$6p^4$	(e)	0	5,296

A) Identificare i cinque termini (a)–(e) e la parità delle due configurazioni. B) Un fascio di elettroni da 6 eV eccita il gas ( $T=300$ K): quante e quali righe in emissione? D) Con $B_0=173$ T, in che regime Zeeman si è?

OCR sorgente (audit)

Nel materiale il termine del core è scritto ${}^4S_0$ : per $L=0$ si ha $J=S$ , quindi il termine di un core $p^3$ è ${}^4S_{3/2}$ (non $J=0$ , impossibile). È un refuso OCR; qui usiamo ${}^4S_{3/2}^*$ (l’asterisco indica la configurazione eccitata del core).

A) Identificare i termini — il metodo del “J noto”

Come ricavare $L$ ed $S$ dai valori di $J$

Se di un termine conosciamo tutti gli $J$ (dal minimo $J_1$ al massimo $J_N$ ), allora

|L-S|=J_1,\qquad L+S=J_N\ \Rightarrow\ L=\frac{J_1+J_N}{2},\quad S=J_N-L

(a) $6p^4$, $J=2,0,1$

$J_1=0$ , $J_N=2$ → $L=(0+2)/2=1$ (P), $S=2-1=1$ → $2S+1=3$ → $\boxed{{}^3P_{0,1,2}}$ .

(b) $6p^4$, $J=2$

Un solo $J$ : $|L-S|=2=L+S$ → $L=2$ (D), $S=0$ → $\boxed{{}^1D_2}$ .

Il core $6p^3$ è nel termine ${}^4S^*_{3/2}$ → $L_1=0$ , $S_1=3/2$ . L’elettrone $7s$ ha $L_2=0$ , $S_2=1/2$ . Quindi $L=L_1+L_2=0$ (S) ed $S=S_1\pm S_2=\{2,\,1\}$ . Solo $S=2$ dà $J=|0-2|..0+2=\{2\}$ → $\boxed{{}^5S_2}$ .

(d) $6p^3[{}^4S^*_{3/2}]7s$, $J=1$

Come sopra $L=0$ , $S\in\{2,1\}$ ; solo $S=1$ dà $J=\{1\}$ → $\boxed{{}^3S_1}$ .

(e) $6p^4$, $J=0$

$|L-S|=0=L+S$ → $L=0$ , $S=0$ → $\boxed{{}^1S_0}$ .

Parità $P=(-1)^{\sum_i\nu_i l_i}$ :

$6p^4$ : $P=(-1)^{4\cdot1}=+1$ → pari.
$6p^3 7s$ : $P=(-1)^{3\cdot1+1\cdot0}=-1$ → dispari.

Il dettaglio che cambia tutto: la parità

La regola “la parità deve cambiare” è il filtro più forte: lega solo termini della configurazione pari ( $6p^4$ ) con quelli della dispari ( $6p^3 7s$ ). I termini della stessa configurazione non possono transire tra loro nel dipolo.

B) Righe di emissione (fascio 6 eV, T = 300 K)

Popolazione iniziale. Il fascio (6 eV) eccita fino al livello più alto (5,296 eV): tutti accessibili. A 300 K, $k_BT\approx 0{,}026$ eV ≪ distanze tra termini, ma il fascio elettronico non risente di Boltzmann: eccita tutti i livelli permessi.

Filtro delle regole di selezione (transizioni permesse): $\Delta J=0,\pm1$ (no $0\!\to\!0$ ), parità cambia, $\Delta L=0,\pm1$ (no $0\!\to\!0$ ), $\Delta S=0$ .

Le due sole famiglie connesse dalla parità sono $6p^4$ (pari: $^3P,{}^1D,{}^1S$ ) e $6p^3 7s$ (dispari: $^5S_2,{}^3S_1$ ). Applicando $\Delta S=0$ :

$^5S_2$ ( $S=2$ ) non ha partner con $S=2$ tra i termini pari → nessuna transizione.
$^3S_1$ ( $S=1$ ) ↔ $^3P_{0,1,2}$ ( $S=1$ ) → ✓: ΔL = S→P = 1, e i tre ΔJ = $1\to2,1\to0,1\to1$ sono $\{+1,-1,0\}$ , tutti permessi.

Emissione $^3S_1\to{}^3P_J$ (dall’alto, $E(^3S_1)=5{,}058$ eV):

Transizione	$\Delta J$	$E_\gamma=E_i-E_f$ (eV)
$^3S_1\to{}^3P_2$	$1\to2$ (Δ=+1) ✓	$5{,}058-0{,}000=5{,}058$
$^3S_1\to{}^3P_0$	$1\to0$ (Δ=−1) ✓	$5{,}058-0{,}931=4{,}127$
$^3S_1\to{}^3P_1$	$1\to1$ (Δ=0) ✓	$5{,}058-2{,}086=2{,}972$

Risultato: 3 righe di emissione

$E_\gamma\in\{5{,}058;\ 4{,}127;\ 2{,}972\}\ \mathrm{eV}$

Perché non $^5S_2\to{}^3P$

Violerebbe $\Delta S=0$ ( $2\to1$ ): è una transizione intercombinatione, proibita nel dipolo elettrico (debolemente permessa solo tramite accoppiamento spin-orbita forte, come avviene in atomi pesanti — ma non in approssimazione LS pura).

D) Regime Zeeman per $B_0 = 173$ T

Si confronta l’energia magnetica tipica con la separazione spin-orbita del termine.

Energia magnetica e splitting Zeeman

$E_B\sim\mu_B B_0,\qquad \mu_B=5{,}788\cdot10^{-5}\ \mathrm{eV/T}$

E_B = 5{,}788\cdot10^{-5}\times 173 \approx 1{,}0\cdot10^{-2}\ \mathrm{eV}.

La separazione spin-orbita del termine $^3P$ è dell’ordine dell’eV (es. tra $^3P_0$ e $^3P_1$ : $\sim 2{,}1$ eV; o tra $^3P_0$ e $^3P_2$ : $\sim 0{,}9$ eV). Dunque

R=\frac{E_B}{\Delta E_{SO}}\sim\frac{0{,}01}{1}\sim10^{-2}\ll 1\ \Rightarrow\ \textbf{campo debole (Zeeman anomalo).}

Cosa cambia rispetto al campo forte

In regime debole lo spin-orbita è già nell’hamiltoniana imperturbata: i buoni numeri quantici sono $|n,l,s,j,m_j\rangle$ e lo splitting è $\Delta E=\mu_B B\,g\,m_j$ con il fattore di Landé $g$ (vedi cap. 03). Per $B$ forte ( $R\gtrsim 1$ ) si stacca invece il Paschen–Back (base $|m_l,m_s\rangle$ ).

Coerenza del sorgente

Il sorgente usa a volte $\Delta E_{SO}=0{,}931$ eV e a volte $2{,}086$ eV: la scelta esatta del “splitting rappresentativo” del termine non cambia la conclusione ( $R\ll1$ ), perché entrambi sono $\gg E_B$ . L’unica cosa che conta è l’ordine di grandezza.

Commento e collegamenti

L’esercizio insegna due metodi trasferibili: (1) ricavare $L,S$ dai valori noti di $J$ ; (2) decidere il regime Zeeman confrontando $\mu_B B$ con $\Delta E_{SO}$ .
Il filtro “parità + $\Delta S=0$ ” riduce decine di transizioni nominali a 3 righe: è il cuore della spettroscopia atomica.
Per la parte di assorbimento in campo B e polarizzazione (punti E–F del testo originale) il ragionamento è lo stesso, aggiungendo lo splitting in $m_j$ e le regole $\Delta m_j=0,\pm1$ con le polarizzazioni $\pi/\sigma_\pm$ (vedi cap. 03).