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Ψ SdM

Formule chiave

Raccolta delle formule più importanti, verificate in passaggi, coerenza dimensionale e significato fisico nelle rispettive pagine. Le voci corrette rispetto al materiale sorgente portano il richiamo all'audit.

Prerequisiti & fondamenti

Hamiltoniana pagina →
H^=p^22m+V\hat H=\frac{\hat{\mathbf p}^2}{2m}+V
Schrödinger stazionaria pagina →
H^∣ϕn⟩=En∣ϕn⟩\hat H|\phi_n\rangle=E_n|\phi_n\rangle
Momento angolare pagina →
J^2∣j,m⟩=ℏ2j(j+1)∣j,m⟩, J^z∣j,m⟩=ℏm∣j,m⟩\hat{\mathbf J}^2|j,m\rangle=\hbar^2 j(j{+}1)|j,m\rangle,\ \hat J_z|j,m\rangle=\hbar m|j,m\rangle
Ehrenfest pagina →
ddt⟨A^⟩=iℏ⟨[H^,A^]⟩+⟨∂tA^⟩\frac{d}{dt}\langle\hat A\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[\hat H,\hat A]\rangle+\langle\partial_t\hat A\rangle
Perturbazione non degenere pagina →
En(1)=⟨n∣V^∣n⟩,En(2)=∑m≠n∣Vmn∣2En(0)−Em(0)E_n^{(1)}=\langle n|\hat V|n\rangle,\quad E_n^{(2)}=\sum_{m\ne n}\frac{|V_{mn}|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}
Perturbazione degenere pagina →
det⁡(Vαβ−E(1)δαβ)=0\det(V_{\alpha\beta}-E^{(1)}\delta_{\alpha\beta})=0

Parte I — Fisica atomica

Livelli di Bohr pagina →
En=−Z2n2 Ry,Ry=13,6 eVE_n=-\frac{Z^2}{n^2}\,\mathrm{Ry},\quad \mathrm{Ry}=13{,}6\ \mathrm{eV}
Raggio di Bohr pagina →
rn=a0Zn2,a0=0,529 A˚r_n=\frac{a_0}{Z}n^2,\quad a_0=0{,}529\ \text{Å}
Rydberg–Ritz pagina →
ν=cR∞ ⁣(1na2−1nb2)\nu=cR_\infty\!\left(\frac1{n_a^2}-\frac1{n_b^2}\right)

con ν=ΔE/h (corretta)

Correzione cinetica pagina →
ΔER=−En22mec2 ⁣(4nl+1/2−3)\Delta E_R=-\frac{E_n^2}{2m_ec^2}\!\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)

corretta (audit A09)

Correzione Darwin pagina →
ΔED=−En(Zα)2n(l=0)\Delta E_D=-E_n\frac{(Z\alpha)^2}{n}\quad(l{=}0)
Struttura fine totale pagina →
En,j=En ⁣[1+(Zα)2n2 ⁣(nj+1/2−34)]E_{n,j}=E_n\!\left[1+\frac{(Z\alpha)^2}{n^2}\!\left(\frac{n}{j+1/2}-\frac34\right)\right]
Regole di selezione (dipolo) pagina →
Δl=±1,Δm=0,±1,Δs=0\Delta l=\pm1,\quad \Delta m=0,\pm1,\quad \Delta s=0
Regola d'oro di Fermi pagina →
Wi→f=2πℏ∣⟨f∣H^int∣i⟩∣2ρ(Ef)W_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}|\langle f|\hat H_{\text{int}}|i\rangle|^2\rho(E_f)
Stark n=2 pagina →
ψ±=12(ψ2s±ψ2p), ΔE=±3eEa0\psi_\pm=\tfrac{1}{\sqrt2}(\psi_{2s}\pm\psi_{2p}),\ \Delta E=\pm3eEa_0
Zeeman ordinario pagina →
E=En+μBB(ml+2ms)E=E_n+\mu_B B(m_l+2m_s)
Fattore di Landé pagina →
g=1+j(j+1)+s(s+1)−l(l+1)2j(j+1),ΔE=μBB g mjg=1+\frac{j(j{+}1)+s(s{+}1)-l(l{+}1)}{2j(j{+}1)},\quad \Delta E=\mu_BB\,g\,m_j
Elio perturbativo pagina →
E1,1=−Z2+58ZE_{1,1}=-Z^2+\tfrac58 Z
Elio variazionale pagina →
Emin⁡=− ⁣(Z−516)2=−2,848 auE_{\min}=-\!\left(Z-\tfrac{5}{16}\right)^2=-2{,}848\ \text{au}
Eccitati elio (J±K) pagina →
E±(1)=Jnl±KnlE_{\pm}^{(1)}=J_{nl}\pm K_{nl}
Termini di p² pagina →
3P0,1,2 1D2 1S0{}^3P_{0,1,2}\ {}^1D_2\ {}^1S_0

ground state ${}^3P_0$

Parte II — Fisica molecolare

Born-Oppenheimer pagina →
[−12μ∇R2+Eq(R)]Fq=EFq\left[-\tfrac{1}{2\mu}\nabla_R^2+E_q(R)\right]F_q=EF_q
Rotatore rigido pagina →
Ej=Bhc j(j+1),B=ℏ4πcμR02E_j=Bhc\,j(j{+}1),\quad B=\frac{\hbar}{4\pi c\mu R_0^2}
Top simmetrico pagina →
EJ,K=Bhc J(J+1)+(A−B)hc K2E_{J,K}=Bhc\,J(J{+}1)+(A-B)hc\,K^2
Oscillatore armonico pagina →
Ev=ℏω0 ⁣(v+12), ω0=k/μE_v=\hbar\omega_0\!\left(v+\tfrac12\right),\ \omega_0=\sqrt{k/\mu}
Morse pagina →
Ev=ℏω0 ⁣[ ⁣(v+12)−β ⁣(v+12)2], β=ℏω04DeE_v=\hbar\omega_0\!\left[\!\left(v{+}\tfrac12\right)-\beta\!\left(v{+}\tfrac12\right)^2\right],\ \beta=\frac{\hbar\omega_0}{4D_e}
Distorsione centrifuga pagina →
EJ=Bhc J(J+1)−Dhc [J(J+1)]2, D≪BE_J=Bhc\,J(J{+}1)-Dhc\,[J(J{+}1)]^2,\ D\ll B
Rami P/Q/R pagina →
ν~=ν~0+(B′+B)hc m+(B′−B)hc m2\tilde\nu=\tilde\nu_0+(B'+B)hc\,m+(B'-B)hc\,m^2
Livello più popolato pagina →
jmax⁡=12 ⁣(2kBT/(Bhc)−1)j_{\max}=\tfrac12\!\left(\sqrt{2k_BT/(Bhc)}-1\right)
Raman rotazionale pagina →
ΔEj→j+2=2Bhc(2j+3), Δj=±2\Delta E_{j\to j+2}=2Bhc(2j{+}3),\ \Delta j=\pm2
Modi normali pagina →
Nvib=3N−5 (lin.), 3N−6 (non lin.)N_{\text{vib}}=3N-5\ (\text{lin.}),\ 3N-6\ (\text{non lin.})
Franck-Condon pagina →
I∝∣⟨χv′∣χv⟩∣2I\propto|\langle\chi_{v'}|\chi_v\rangle|^2
H₂⁺ (LCAO) pagina →
Eg,u=HAA±HAB1±SE_{g,u}=\frac{H_{AA}\pm H_{AB}}{1\pm S}
Coordinate ellittiche pagina →
ξ=rA+rBR, η=rA−rBR\xi=\frac{r_A+r_B}{R},\ \eta=\frac{r_A-r_B}{R}
Termine MO (ordine legame) pagina →
b=12(nleg−nantileg)b=\tfrac12(n_{\text{leg}}-n_{\text{antileg}})
Termini molecolari pagina →
2S+1ΛΩ(±)(g/u), Ω=∣Λ+Σ∣{}^{2S+1}\Lambda_{\Omega}^{(\pm)}(g/u),\ \Omega=|\Lambda+\Sigma|
Regole di selezione pagina →
ΔΛ=0,±1, ΔS=0, g↔u\Delta\Lambda=0,\pm1,\ \Delta S=0,\ g\leftrightarrow u
Ibridizzazioni pagina →
sp (180∘), sp2 (120∘), sp3 (109,5∘)sp\,(180^\circ),\ sp^2\,(120^\circ),\ sp^3\,(109{,}5^\circ)
Energica π (Hückel) pagina →
ϵm=α+2βcos⁡ ⁣πmN+1\epsilon_m=\alpha+2\beta\cos\!\tfrac{\pi m}{N+1}

Parte III — Fisica dei solidi

Dispersione tight-binding pagina →
E(k)=ϵ−2tcos⁡(ka),W=4tE(k)=\epsilon-2t\cos(ka),\quad W=4t
Stato di Bloch pagina →
∣k⟩=1N∑neikna∣n⟩|k\rangle=\frac1{\sqrt N}\sum_n e^{ikna}|n\rangle
Bande s/p pagina →
Es=ϵs−2tscos⁡(ka),  Ep=ϵp+2tpcos⁡(ka), tp>tsE_s=\epsilon_s-2t_s\cos(ka),\ \ E_p=\epsilon_p+2t_p\cos(ka),\ t_p>t_s

banda p capovolta

DOS 1D (tight-binding) pagina →
g(ϵ)=2Lπa14t2−(ϵ−ϵ0)2g(\epsilon)=\frac{2L}{\pi a}\frac{1}{\sqrt{4t^2-(\epsilon-\epsilon_0)^2}}

Van Hove ai bordi

DOS 3D (elettrone libero) pagina →
g(ϵ)=V2π2(2m)3/2ℏ3ϵg(\epsilon)=\frac{V}{2\pi^2}\frac{(2m)^{3/2}}{\hbar^3}\sqrt\epsilon
Energia di Fermi (libero) pagina →
ϵF=ℏ22m(3π2n)2/3, ⟨ϵ⟩=35ϵF\epsilon_F=\frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2 n)^{2/3},\ \langle\epsilon\rangle=\tfrac35\epsilon_F
Punto/linea di Fermi pagina →
kF=±π2a (1D),  cos⁡(kxa)+cos⁡(kya)=0 (2D)k_F=\pm\frac{\pi}{2a}\ (1D),\ \ \cos(k_xa)+\cos(k_ya)=0\ (2D)

monovalente, ε_F=ε₀

Densità elettroni pagina →
n=ρmZNAAn=\frac{\rho_m Z N_A}{A}
Conducibilità (Drude/Sommerfeld) pagina →
σ=ne2τm\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}

forma identica, cambia il significato di v e τ

Fermi-Dirac pagina →
f(ϵ,T)=1e(ϵ−μ)/kBT+1f(\epsilon,T)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/k_BT}+1}
Capacità termica elettronica pagina →
Ce=π23g(ϵF)kB2T=π22NkBTTF∝TC_e=\frac{\pi^2}{3}g(\epsilon_F)k_B^2T=\frac{\pi^2}{2}Nk_B\frac{T}{T_F}\propto T
Wiedemann-Franz pagina →
κσ=π23(kBe)2T\frac{\kappa}{\sigma}=\frac{\pi^2}{3}\left(\frac{k_B}{e}\right)^2T

L_Drude=(3/2)(k_B/e)² è ~metà

Legge di Bragg pagina →
nλ=2dsin⁡θ ⇒ k=±nπan\lambda=2d\sin\theta\ \Rightarrow\ k=\pm\frac{n\pi}{a}
Onde stazionarie al bordo zona pagina →
Ψ+=2cos⁡πxa, Ψ−=2isin⁡πxa\Psi_+=2\cos\tfrac{\pi x}{a},\ \Psi_-=2i\sin\tfrac{\pi x}{a}

gap=2|V_G|; armonica V=-U cos → gap=U

Massa efficace pagina →
m∗=ℏ2d2E/dk2m^*=\frac{\hbar^2}{d^2E/dk^2}

>0 (centro), ∞ (flesso), <0 (bordo)