Formule chiave

Raccolta delle formule più importanti, verificate in passaggi, coerenza dimensionale e significato fisico nelle rispettive pagine. Le voci corrette rispetto al materiale sorgente portano il richiamo all'audit.

ΨPrerequisiti & fondamenti

Hamiltoniana pagina →

$$\hat H=\frac{\hat{\mathbf p}^2}{2m}+V$$

Schrödinger stazionaria pagina →

$$\hat H|\phi_n\rangle=E_n|\phi_n\rangle$$

Momento angolare pagina →

$$\hat{\mathbf J}^2|j,m\rangle=\hbar^2 j(j{+}1)|j,m\rangle,\ \hat J_z|j,m\rangle=\hbar m|j,m\rangle$$

Ehrenfest pagina →

$$\frac{d}{dt}\langle\hat A\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[\hat H,\hat A]\rangle+\langle\partial_t\hat A\rangle$$

Perturbazione non degenere pagina →

$$E_n^{(1)}=\langle n|\hat V|n\rangle,\quad E_n^{(2)}=\sum_{m\ne n}\frac{|V_{mn}|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$$

Perturbazione degenere pagina →

$$\det(V_{\alpha\beta}-E^{(1)}\delta_{\alpha\beta})=0$$

⚛Parte I — Fisica atomica

Livelli di Bohr pagina →

$$E_n=-\frac{Z^2}{n^2}\,\mathrm{Ry},\quad \mathrm{Ry}=13{,}6\ \mathrm{eV}$$

Raggio di Bohr pagina →

$$r_n=\frac{a_0}{Z}n^2,\quad a_0=0{,}529\ \text{Å}$$

Rydberg–Ritz pagina →

$$\nu=cR_\infty\!\left(\frac1{n_a^2}-\frac1{n_b^2}\right)$$

con ν=ΔE/h (corretta)

Correzione cinetica pagina →

$$\Delta E_R=-\frac{E_n^2}{2m_ec^2}\!\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)$$

corretta (audit A09)

Correzione Darwin pagina →

$$\Delta E_D=-E_n\frac{(Z\alpha)^2}{n}\quad(l{=}0)$$

Struttura fine totale pagina →

$$E_{n,j}=E_n\!\left[1+\frac{(Z\alpha)^2}{n^2}\!\left(\frac{n}{j+1/2}-\frac34\right)\right]$$

Regole di selezione (dipolo) pagina →

$$\Delta l=\pm1,\quad \Delta m=0,\pm1,\quad \Delta s=0$$

Regola d'oro di Fermi pagina →

$$W_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}|\langle f|\hat H_{\text{int}}|i\rangle|^2\rho(E_f)$$

Stark n=2 pagina →

$$\psi_\pm=\tfrac{1}{\sqrt2}(\psi_{2s}\pm\psi_{2p}),\ \Delta E=\pm3eEa_0$$

Zeeman ordinario pagina →

$$E=E_n+\mu_B B(m_l+2m_s)$$

Fattore di Landé pagina →

$$g=1+\frac{j(j{+}1)+s(s{+}1)-l(l{+}1)}{2j(j{+}1)},\quad \Delta E=\mu_BB\,g\,m_j$$

Elio perturbativo pagina →

$$E_{1,1}=-Z^2+\tfrac58 Z$$

Elio variazionale pagina →

$$E_{\min}=-\!\left(Z-\tfrac{5}{16}\right)^2=-2{,}848\ \text{au}$$

Eccitati elio (J±K) pagina →

$$E_{\pm}^{(1)}=J_{nl}\pm K_{nl}$$

Termini di p² pagina →

$${}^3P_{0,1,2}\ {}^1D_2\ {}^1S_0$$

ground state ${}^3P_0$

🧬Parte II — Fisica molecolare

Born-Oppenheimer pagina →

$$\left[-\tfrac{1}{2\mu}\nabla_R^2+E_q(R)\right]F_q=EF_q$$

Rotatore rigido pagina →

$$E_j=Bhc\,j(j{+}1),\quad B=\frac{\hbar}{4\pi c\mu R_0^2}$$

Oscillatore armonico pagina →

$$E_v=\hbar\omega_0\!\left(v+\tfrac12\right),\ \omega_0=\sqrt{k/\mu}$$

Morse pagina →

$$E_v=\hbar\omega_0\!\left[\!\left(v{+}\tfrac12\right)-\beta\!\left(v{+}\tfrac12\right)^2\right],\ \beta=\frac{\hbar\omega_0}{4D_e}$$

Franck-Condon pagina →

$$I\propto|\langle\chi_{v'}|\chi_v\rangle|^2$$

LCAO (H₂⁺) pagina →

$$E_{g,u}=\frac{H_{AA}\pm H_{AB}}{1\pm S}$$

Ibridizzazioni pagina →

$$sp\,(180^\circ),\ sp^2\,(120^\circ),\ sp^3\,(109{,}5^\circ)$$

Termini molecolari pagina →

$${}^{2S+1}\Lambda_{g/u}^{\pm}$$

🔲Parte III — Fisica dei solidi

Dispersione tight-binding pagina →

$$E(k)=\epsilon-2t\cos(ka),\quad W=4t$$

Stato di Bloch pagina →

$$|\alpha_m\rangle=\frac1{\sqrt N}\sum_n e^{i2\pi mn/N}|n\rangle$$

DOS 3D pagina →

$$g(\epsilon)=\frac{V}{2\pi^2}\frac{(2m)^{3/2}}{\hbar^3}\sqrt\epsilon$$

Energia di Fermi pagina →

$$\epsilon_F=\frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2 n)^{2/3},\ \langle\epsilon\rangle=\tfrac35\epsilon_F$$

Fermi-Dirac pagina →

$$f(\epsilon,T)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/k_BT}+1}$$

Capacità termica elettronica pagina →

$$C_e=\frac{\pi^2}{2}Nk_B\frac{T}{T_F}\propto T$$

Conducibilità pagina →

$$\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}$$

Drude e Sommerfeld (stessa forma)