Termini spettroscopici del carbonio e dei suoi ioni

Testo

Determinare i termini spettroscopici $^{2S+1}L_J$, la parità e il termine di stato fondamentale del carbonio neutro e dei suoi ioni C⁺ e C⁺⁺.

Strategia (il metodo generale)

Per ogni specie il procedimento è sempre lo stesso:

1. Configurazione elettronica dello stato fondamentale (riempi per energia crescente).
2. Elettroni equivalenti o no? → decide la degenerazione e se scartare termini (Pauli).
3. Parità $P=(-1)^{\sum_i\nu_i l_i}$.
4. Termini: combina $L=|l_1-l_2|..l_1+l_2$ e $S=|s_1-s_2|..s_1+s_2$, poi $J=|L-S|..L+S$.
5. Scarti (solo elettroni equivalenti): via i termini vietati da Pauli.
6. Ordinamento con le 3 regole di Hund → ground state.

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C — carbonio neutro ($Z=6$)

Degenerazione (equivalenti): $\delta=2(2l+1)=6$, $d=\binom{6}{2}=15$ microstati.

Parità: $P=(-1)^{2\cdot0+2\cdot0+2\cdot1}=(-1)^2=+1$ → pari (lo si vede già dalla shell $p$ semipiena di soli elettroni $l=1$ in numero pari).

Scarti per Pauli (elettroni equivalenti in $p$): per due elettroni $p$,

• parte spaziale simmetrica ($L=0,2$ → $S,D$) accoppia con spin antisimmetrico ($S=0$, singoletto): $^1S,^1D$ ✓;
• parte spaziale antisimmetrica ($L=1$ → $P$) accoppia con spin simmetrico ($S=1$, tripletto): $^3P$ ✓;
• sono quindi vietati: $^3S,\ ^3D$ (simmetrica+simmetrico) e $^1P$ (antisimmetrica+antisimmetrico).

Restano:

$$\boxed{\ {}^3P_{0,1,2}\quad{}^1D_2\quad{}^1S_0\ }$$

Termini spettroscopici di p² (regole di Hund)

mostra termini vietati da Pauli

Dalla configurazione p² (2 elettroni equivalenti) nascono i termini ³P₀,₁,₂, ¹D₂, ¹S₀. Le tre regole di Hund li ordinano: massimo S (tripletto), poi massimo L, poi — shell meno che semipiena — minimo J: ground state ³P₀.

Ordinamento con Hund: $S$ max → $^3P$ primo; tra i singoletti $L$ max → $^1D$ prima di $^1S$. Shell $p$ meno che semipiena (2 elettroni su 6) → $J$ minimo primo → ground state $^3P_0$.

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C⁺ — carbonio ionizzato una volta ($Z=6$, 5 elettroni)

Parità: $P=(-1)^{1\cdot1}=-1$ → dispari.

Con un solo elettrone: $l_1=1$, $s_1=\tfrac12$. Lo “zero” dell’altro (guscio pieno) dà $L=1$, $S=\tfrac12$. Quindi $^{2S+1}L={}^{2}P$ e

$$J=\left|\tfrac12-1\right|..\tfrac12+1=\tfrac12,\tfrac32\ \Rightarrow\ {}^2P_{1/2},\ {}^2P_{3/2}.$$

Nessuno scarto (non equivalenti). Hund (guscio meno che semipieno → $J$ min) → ground state $^2P_{1/2}$.

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C⁺⁺ — carbonio ionizzato due volte ($Z=6$, 4 elettroni)

Come l’elio: $ns^2$ dà solo $^1S_0$ (il $^3S_1$ è vietato da Pauli, parte spaziale simmetrica con spin simmetrico). Ground state $^1S_0$.

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Commento al risultato

Specie	Config. valenza	Termini	Ground state	Parità
C	$2p^2$	$^3P_{0,1,2}$, $^1D_2$, $^1S_0$	$^3P_0$	pari
C⁺	$2p^1$	$^2P_{1/2,3/2}$	$^2P_{1/2}$	dispari
C⁺⁺	$2s^2$	$^1S_0$	$^1S_0$	pari

• Il ground state del C neutro è $^3P_0$: il tripletto conferma la prima regola di Hund (massimo $S$), e $J=0$ la terza (guscio meno che semipieno).
• C⁺, avendo un solo elettrone di valenza, è un doppietto ($^2P$): le due componenti $J=1/2,3/2$ sono separate dallo spin-orbita (è la struttura fine dell’alcalinoide).
• C⁺⁺ ha il guscio chiuso: spettroscopicamente “inerte” (come He), $^1S_0$.

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Sintesi

Specie	Config.	#elettroni valenza	Termini permessi	Ground state	Parità
C	$1s^2 2s^2 2p^2$	2 (equivalenti)	$^3P_{0,1,2}$, $^1D_2$, $^1S_0$	$^3P_0$	$+1$
C⁺	$1s^2 2s^2 2p^1$	1	$^2P_{1/2,3/2}$	$^2P_{1/2}$	$-1$
C⁺⁺	$1s^2 2s^2$	0 (guscio chiuso)	$^1S_0$	$^1S_0$	$+1$

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Formule chiave

• Degenerazione configurazione $p^\nu$ (equivalenti): $d=\binom{2(2l+1)}{\nu}=\binom{6}{\nu}$.
• Parità di una configurazione: $P=(-1)^{\sum_i l_i}$; shell piene contribuiscono $+1$.
• Termini $p^2$ (equivalenti, dopo scarti Pauli): $^3P$, $^1D$, $^1S$ — 15 microstati totali.
• Hund 1: $\max S$ primo (tripletto sotto singoletti).
• Hund 2: $\max L$ primo entro la stessa molteplicità ($^1D$ sotto $^1S$).
• Hund 3: shell $\leq$ semipiena → $J_{\min}$ primo (GS $^3P_0$); shell $>$ semipiena → $J_{\max}$.
• Elettrone-lacuna: $p^\nu\equiv p^{6-\nu}$ come termini (vedi esame 02 sul $6p^4$ del Po).