Stato doppiamente eccitato dell'elio (2s4p): autoionizzazione ed elettrone Auger

Testo (dati)

Un atomo di elio viene eccitato nello stato autoionizzante $2s\,4p$ (stato doppiamente eccitato: entrambi gli elettroni fuori dal $1s$). Si assuma che:

• l’elettrone nel $2s$ risenta del campo non schermato del nucleo ($Z=2$);
• l’elettrone nel $4p$ risenta del nucleo completamente schermato dall’altro elettrone ($Z_{\text{eff}}=1$).

1. Termine spettroscopico della configurazione $2s\,4p$.
2. Energia dello stato autoionizzante.
3. Di quanto si trova al di sopra del ground state dell’elio neutro?
4. Velocità dell’elettrone emesso nel processo di autoionizzazione $2s\,4p\to\mathrm{He}^+(1s)+e^-$.

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1) Termine spettroscopico di $2s\,4p$

Due elettroni ottici: $2s$ ($l=0$, $s=\tfrac12$) e $4p$ ($l=1$, $s=\tfrac12$).

$$L=l_1+l_2=1\;(P),\qquad S=0\;\text{o}\;1.$$

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2) Energia dello stato autoionizzante

Con l’approssimazione di schermo e l’energia idrogenoide $E_n(Z)=-Z^2/(2n^2)$ (au):

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3) Distanza dal ground state

Il ground state dell’elio con il metodo variazionale a $Z_{\text{eff}}$ (vedi cap. 05) vale

$$E_{1s^2}=-(Z-\tfrac{5}{16})^2=-(\tfrac{27}{16})^2=-2{,}848\ \text{a.u.}$$

Lo stato autoionizzante sta 63 eV sopra il ground state (e ben sopra la soglia di prima ionizzazione, 24,6 eV).

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4) Velocità dell’elettrone Auger

Il decadimento è $2s\,4p\to\mathrm{He}^+(1s)+e^-$. L’energia dello ione $\mathrm{He}^+$ nel suo ground state ($1s$, idrogenoide $Z=2$):

$$E_{\mathrm{He}^+(1s)}=-\frac{Z^2}{2n^2}=-\frac{4}{2}=-2\ \text{a.u.}$$

L’energia cinetica dell’elettrone emesso è la differenza:

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Commento e collegamenti

• Lo stato $2s\,4p$ è autoionizzante perché doppiamente eccitato: la sua energia ($-0{,}53$ a.u.) supera quella di $\mathrm{He}^+(1s)$ ($-2$ a.u.), quindi decade per Auger invece che per emissione radiativa. È il prototipo degli stati “above the ionization threshold”.
• L’approssimazione “schermo totale o nullo” rende il conto sommabile in due termini idrogenoidi; includendo la repulsione $e$-$e$ (metodi variazionali / CI) si separano singoletto e tripletto e si raffina l’energia.
• Il calcolo della velocità usa $K=\tfrac12m_ev^2$ in a.u.: in a.u. la massa sparisce e $v=\sqrt{2K}$; per riportare in SI si moltiplica per la velocità atomica $v_0=\alpha c=2{,}19\times10^6$ m/s.

Formule chiave

• Termini $2s4p$: ${}^1P_1$, ${}^3P_{0,1,2}$ (degeneri nell’approssimazione di schermo)
• $E(2s4p)=-Z^2/(2n_s^2)-1/(2n_p^2)=-0{,}531$ a.u. (con $Z=2$ sul $2s$, $Z_{\text{eff}}=1$ sul $4p$)
• Eccitazione dal GS: $\Delta E=2{,}32$ a.u. $=63$ eV
• Elettrone Auger: $K_e=E(2s4p)-E_{\mathrm{He}^+(1s)}=1{,}47$ a.u. $=40$ eV; $v=1{,}71$ a.u. $=3{,}75\cdot10^6$ m/s

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Sintesi

Grandezza	Espressione	Valore
Termini di $2s\,4p$	$^1P_1$, $^3P_{0,1,2}$	degeneri (schermo)
$E(2s)$ idrogenoide	$-Z^2/(2n^2)$ con $Z=2$	$-0{,}5$ a.u.
$E(4p)$ idrogenoide	$-Z_{\text{eff}}^2/(2n^2)$ con $Z_{\text{eff}}=1$	$-1/32$ a.u.
$E(2s\,4p)$	somma	$-0{,}531$ a.u.
GS He (variazionale)	$-(Z-5/16)^2$	$-2{,}848$ a.u.
$\Delta E$ dal GS	$E(2s\,4p)-E_{1s^2}$	63 eV
$E(\mathrm{He}^+(1s))$	$-Z^2/2$	$-2$ a.u.
$K_e$ Auger	$E(2s\,4p)-E(\mathrm{He}^+)$	40 eV
$v$ Auger	$\sqrt{2K_e}$ in a.u.	1,71 a.u. = $3{,}75\cdot 10^6$ m/s = $1{,}25\%\,c$