Reticolo 2D quadrato: banda tight-binding, zona di Brillouin e superficie di Fermi

Testo (dati)

Reticolo bidimensionale monoatomico quadrato di passo $a$, con un atomo monovalente per cella e condizioni periodiche al bordo. La banda di valenza è descritta da un modello LCAO-tight-binding a primi vicini con un solo orbitale $s$ di valenza per atomo; la base è ortonormale e gli unici elementi di matrice non nulli dell’hamiltoniana sono:

• termine diagonale $\varepsilon_0=-0{,}05$ a.u.;
• termine di accoppiamento fra atomi primi vicini $-t(a)=-e^{-a/a_0}$, con $a_0=1$ a.u.

($a$ dipende dalla matricola: $a=2$, $3$ oppure $4$ a.u.)

1. Espressione analitica della banda $\varepsilon(\mathbf{k})$; valore minimo $\varepsilon_{\min}$ e $\mathbf{k}$ in cui lo si raggiunge; analogamente per il massimo $\varepsilon_{\max}$.
2. Prima zona di Brillouin; porzione occupata dagli elettroni a $T=0$.
3. Sviluppo di Taylor di $\varepsilon(\mathbf{k})$ attorno al minimo fino al secondo ordine; forma delle curve $\varepsilon(\mathbf{k})=\text{cost}$ nelle vicinanze.
4. Profilo di $\varepsilon(\mathbf{k})$ lungo $\Gamma\!\to\!X\!\to\!M\!\to\!\Gamma$ con il livello di Fermi.

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1) La banda $\varepsilon(\mathbf{k})$

Estremi. Ciascun coseno vale $\in[-1,1]$:

• Minimo della somma dei coseni $=2$, in $k_x=k_y=0$: $\boxed{\varepsilon_{\min}=\varepsilon_0-4t}$ in $\Gamma=(0,0)$.
• Massimo della somma $=-2$, in $k_xa=k_ya=\pi$: $\boxed{\varepsilon_{\max}=\varepsilon_0+4t}$ nei 4 punti $M=(\pm\tfrac{\pi}{a},\pm\tfrac{\pi}{a})$.

L’ampiezza di banda è $W=\varepsilon_{\max}-\varepsilon_{\min}=8t$.

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2) Zona di Brillouin e riempimento a $T=0$

La condizione $\cos k_x a+\cos k_y a=0$ è un quadrato ruotato di 45° (losanga) i cui vertici toccano la zona di Brillouin nei punti $X=(\pm\frac{\pi}{a},0)$ e $(0,\pm\frac{\pi}{a})$. A $T=0$ è occupato l’interno di tale losanga.

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3) Sviluppo attorno al minimo e massa efficace

Sviluppando $\cos u\simeq 1-u^2/2$ attorno a $\Gamma$:

Confrontando con l’elettrone libero $\varepsilon=k^2/(2m^\*)$ si legge la massa efficace (in unità atomiche, $m_e=1$):

$$m^\*=\frac{1}{2t\,a^2}\quad\text{(in a.u.)}.$$

Finché lo sviluppo è una buona approssimazione ($ka\ll1$), le curve $\varepsilon(\mathbf k)=\text{cost}$ sono circonferenze (disperzione isotropa, tipo elettrone libero). Attorno al massimo $M$ vale lo stesso risultato per le lacune ($m^\*_{\text{buca}}=1/(2ta^2)$, curvatura opposta).

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4) Profilo della banda $\Gamma\to X\to M\to\Gamma$

Punti notevoli della zona di Brillouin: $\Gamma=(0,0)$, $X=(\pi/a,0)$, $M=(\pi/a,\pi/a)$.

($X=(\pi/a,0)$: $\cos\pi=-1$, $\cos 0=1$ → somma nulla → $\varepsilon_0$.)

Il profilo lungo il cammino $\Gamma\to X\to M\to\Gamma$ è quindi:

• $\Gamma\to X$: da $\varepsilon_{\min}$ a $\varepsilon_0$ (monotono, $k_x$ cresce da $0$ a $\pi/a$);
• $X\to M$: da $\varepsilon_0$ a $\varepsilon_{\max}$ ($k_y$ cresce da $0$ a $\pi/a$);
• $M\to\Gamma$: da $\varepsilon_{\max}$ a $\varepsilon_{\min}$ (entrambi i coseni tornano a $+1$).

Il livello di Fermi $\varepsilon_F=\varepsilon_0$ attraversa la banda proprio in $X$ (e, lungo la diagonale $M\to\Gamma$, nel punto medio) — consistente con la losanga del punto 2.

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Formule chiave

• Banda: $\varepsilon(\mathbf k)=\varepsilon_0-2t(\cos k_xa+\cos k_ya)$, $t=e^{-a/a_0}$
• Estremi: $\varepsilon_{\min}=\varepsilon_0-4t$ ($\Gamma$); $\varepsilon_{\max}=\varepsilon_0+4t$ ($M$); ampiezza $W=8t$
• Monovalente → mezza banda → $\varepsilon_F=\varepsilon_0$; superficie di Fermi = losanga per $\cos k_xa+\cos k_ya=0$
• Massa efficace al minimo: $m^\*=1/(2ta^2)$ (a.u.); curve $\varepsilon=\text{cost}$ → circonferenze

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Sintesi

Grandezza	Espressione	Valore per $a=2$ a.u.
Hopping $t$	$e^{-a/a_0}$	0,1353 a.u.
Banda $\varepsilon(\mathbf k)$	$\varepsilon_0-2t(\cos k_xa+\cos k_ya)$	—
$\varepsilon_{\min}$ ($\Gamma$)	$\varepsilon_0-4t$	$-0{,}591$ a.u.
$\varepsilon_{\max}$ ($M$)	$\varepsilon_0+4t$	$+0{,}491$ a.u.
Ampiezza $W$	$8t$	1,08 a.u. ≈ 29 eV
Livello di Fermi	$\varepsilon_0$ (mezza banda)	$-0{,}05$ a.u.
Superficie di Fermi	losanga nei punti $X$	—
Massa efficace $m^\*$	$1/(2ta^2)$	0,92 $m_e$